であるが、上記2つが床関数を特徴付ける。

同様に、天井関数は

⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil x\rceil } は整数

⌈ x ⌉ − 1 < x ≤ ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil x\rceil -1<x\leq \lceil x\rceil }

によって特徴付けられる。

床関数と天井関数の関係は、x が整数、非整数であるかによってそれぞれ

⌈ x ⌉ − ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor } は 0 か 1

となる。床関数と天井関数の基本不等式を併せると

⌈ x ⌉ − 1 ≤ ⌊ x ⌋ ≤ x ≤ ⌈ x ⌉ ≤ ⌊ x ⌋ + 1 {\displaystyle \lceil x\rceil -1\leq \lfloor x\rfloor \leq x\leq \lceil x\rceil \leq \lfloor x\rfloor +1}

任意の整数 n に対し、 ⌊ n + x ⌋ = n + ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor n+x\rfloor =n+\lfloor x\rfloor } ⌈ n + x ⌉ = n + ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil n+x\rceil =n+\lceil x\rceil }

床関数と天井関数は互いに他方を表せる：

⌈ x ⌉ = − ⌊ − x ⌋ {\displaystyle \lceil x\rceil =-\lfloor -x\rfloor }

⌊ x ⌋ = − ⌈ − x ⌉ {\displaystyle \lfloor x\rfloor =-\lceil -x\rceil }

床関数・天井関数は冪等である： ⌊ ⌊ x ⌋ ⌋ = ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor \lfloor x\rfloor \rfloor =\lfloor x\rfloor } ⌈ ⌈ x ⌉ ⌉ = ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil \lceil x\rceil \rceil =\lceil x\rceil }

任意の整数 n に対し、 ⌊ n 2 ⌋ + ⌈ n 2 ⌉ = n {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil =n} .

解析的性質

床関数と天井関数は広義増加である： x 1 < x 2 ⇒ ⌊ x 1 ⌋ ≤ ⌊ x 2 ⌋ {\displaystyle x_{1}<x_{2}\Rightarrow \lfloor x_{1}\rfloor \leq \lfloor x_{2}\rfloor } x 1 < x 2 ⇒ ⌈ x 1 ⌉ ≤ ⌈ x 2 ⌉ {\displaystyle x_{1}<x_{2}\Rightarrow \lceil x_{1}\rceil \leq \lceil x_{2}\rceil }

床関数・天井関数は、区分的に定数関数であり、整数点（すなわち、整数となる x）で不連続であるが半連続（床関数は上半連続、天井関数は下半連続）である。床関数・天井関数の非整数点での微分係数が存在し、0 である。

x が整数でないとき、床関数と天井関数は次のようにフーリエ級数展開できる：
⌊ x ⌋ = x − 1 2 + 1 π ∑ k = 1 ∞ sin ⁡ ( 2 π k x ) k . {\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.} ⌈ x ⌉ = x + 1 2 + 1 π ∑ k = 1 ∞ sin ⁡ ( 2 π k x ) k . {\displaystyle \lceil x\rceil =x+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.}

同様に x が整数でないとき、逆余接関数と余接関数を用いて次のように表せる：
⌊ x ⌋ = x − 1 π arccot ⁡ ( cot ⁡ ( π x ) ) . {\displaystyle \lfloor x\rfloor =x-{\frac {1}{\pi }}\operatorname {arccot} {\bigl (}\cot(\pi x){\bigr )}.} ⌈ x ⌉ = x + 1 π arccot ⁡ ( cot ⁡ ( − π x ) ) . {\displaystyle \lceil x\rceil =x+{\frac {1}{\pi }}\operatorname {arccot} {\bigl (}\cot(-\pi x){\bigr )}.}

床関数と天井関数の平均は次のようにフーリエ級数展開できる： 1 2 ( ⌊ x ⌋ + ⌈ x ⌉ ) = x + 1 π ∑ k = 1 ∞ sin ⁡ ( 2 π k x ) k . {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\lfloor x\rfloor +\lceil x\rceil \right)=x+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.}

床関数の性質

x が整数、n が正の整数のとき、次の式が成り立つ。 ⌊ x n ⌋ ≥ x n − n − 1 n . {\displaystyle \left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor \geq {\frac {x}{n}}-{\frac {n-1}{n}}.}

n が整数のとき、n ? x と n ≤ ⌊ x ⌋ {\displaystyle n\leq \lfloor x\rfloor } は同値である。意匠を凝らした言い方では、床関数はガロア接続の片翼を担っており、整数を実数へ埋め込む関数の上随伴である。

床関数を用いると、いくつかの素数生成式を作ることができる（ただしこれらは実際の計算には役立たない）。1つの例として、n番目の素数 pn は
p n = 1 + ∑ j = 1 2 n ⌊ n ∑ i = 1 j ⌊ cos 2 ⁡ ( i − 1 ) ! + 1 i π ⌋ n ⌋ . {\displaystyle p_{n}=1+\textstyle \sum \limits _{j=1}^{2^{n}}\left\lfloor {\sqrt[{n}]{\dfrac {n}{\sum \limits _{i=1}^{j}\left\lfloor \cos ^{2}{\frac {(i-1)!+1}{i}}\pi \right\rfloor }}}\right\rfloor .}

エルミートの恒等式 (Hermite’s identity)：実数 a, 正の整数 n に対し、 ⌊ n a ⌋ = ∑ i = 0 n − 1 ⌊ a + i n ⌋ . {\displaystyle \lfloor na\rfloor =\textstyle \sum \limits _{i=0}^{n-1}\left\lfloor a+{\dfrac {i}{n}}\right\rfloor .}

互いに素である正の整数 m, n に対し、次の式が成り立つ[4]： ∑ i = 1 n − 1 ⌊ i m n ⌋ = ( m − 1 ) ( n − 1 ) 2 . {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{n-1}\left\lfloor {\dfrac {im}{n}}\right\rfloor ={\dfrac {(m-1)(n-1)}{2}}.}

自然数 n に対し、n の 1 以外の正の約数の個数を an とすると、 ∑ i + j = n + 1 i , j ≥ 1 ⌊ i j ⌋ = ∑ k = 2 n + 1 a k {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{\scriptstyle i+j=n+1 \atop \scriptstyle i,j\geq 1}\left\lfloor {\dfrac {i}{j}}\right\rfloor =\textstyle \sum \limits _{k=2}^{n+1}a_{k}} （オンライン整数列大辞典の数列 A002541）