特異性

広義積分において、極限が使われる補完数直線上の点を指して特異点と言うことがある。

そのような積分はしばしば、積分区間の端点を無限大と書くことで、普通の定積分と同様に表記される。しかしそのような記法では極限操作は裏に隠れてしまう。リーマン積分でなくルベーグ積分を使うことで、極限操作を回避できる場合がある。しかし具体的な値を得たいときには、そうしたところで助けにはならない。例えばフーリエ変換では数直線全体に渡る積分があらゆるところに現れるが、その厳密な取り扱いにおいて広義積分を意識することも、しないこともある。
積分区間が有界でない場合について

最も基本的な広義積分は、積分区間が有界でない積分、例えば ∫ 0 ∞ d x x 2 + 1 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{dx \over x^{2}+1}}

である。前述のように、これは広義積分として定義しなくとも、代わりにルベーグ積分としても定義できる。しかし実際に計算する上では広義積分として扱うのが便利である。すなわち積分区間の上限が有限だとして計算し、次に上限が無限大に近づくときの極限を取るのがよい。被積分関数の原始関数は逆正接関数 arctan(x) なので、 lim b → ∞ ∫ 0 b d x 1 + x 2 = lim b → ∞ arctan ⁡ b − arctan ⁡ 0 = π / 2 − 0 = π / 2 {\displaystyle \lim _{b\rightarrow \infty }\int _{0}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\rightarrow \infty }\arctan b-\arctan 0=\pi /2-0=\pi /2}

となる。広義積分の収束は、対応する極限が（有限値に）収束することと同値である。以下に収束しない広義積分の例を示す： ∫ 1 ∞ d x x = lim b → ∞ ∫ 1 b d x x = lim b → ∞ ln ⁡ b = ∞ {\displaystyle \int _{1}^{\infty }{dx \over x}=\lim _{b\rightarrow \infty }\int _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}=\lim _{b\rightarrow \infty }\ln b=\infty } .

積分区間の両端点が無限大の場合もある。そのような場合には二つの広義積分の和として考える： ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = ∫ − ∞ a f ( x ) d x + ∫ a + ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=\int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx+\int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx} .

ここで a は任意の（有限な）実数である。

この場合、広義積分の収束は、分割された両方の積分の収束と同値である。片方の積分が正の無限大に発散し、もう片方が負の無限大に発散するとき、元の積分は不定形となる。その値は、積分区間の端点それぞれがどのような関係を持っているかによって様々に変わり得る。コーシーの主値はこの不定性を取り除くための概念である。
積分区間の端点における発散

広義積分の中には、被積分関数が正または負の無限大に発散するものがある（→漸近線）。

例えば次の広義積分で、被積分関数はx = 0において正の無限大に発散する（漸近線x = 0を持つ）： ∫ 0 1 d x x 2 / 3 {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{x^{2/3}}}}

この積分の評価には、まず正数 b を導入して b から1までの区間で積分を実行し、次に b が右から0に近づくときの極限を取る（積分区間が0より右にあるので）。なお原始関数が 3 x 1 / 3 {\displaystyle 3x^{1/3}} なので、次のようにも計算できる： lim b → 0 + ∫ b 1 d x x 2 / 3 = 3 ⋅ 1 1 / 3 − lim b → 0 + 3 b 1 / 3 = 3 − 0 = 3 {\displaystyle \lim _{b\rightarrow 0^{+}}\int _{b}^{1}{\frac {dx}{x^{2/3}}}=3\cdot 1^{1/3}-\lim _{b\rightarrow 0^{+}}3b^{1/3}=3-0=3} .
コーシーの主値詳細は「コーシーの主値」を参照

以下の二つの極限の違いについて考えよう： lim a → 0 + ( ∫ − 1 − a d x x + ∫ a 1 d x x ) = 0 {\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=0} lim a → 0 + ( ∫ − 1 − a d x x + ∫ 2 a 1 d x x ) = − ln ⁡ 2 {\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0+}\left(\int _{-1}^{-a}{\frac {dx}{x}}+\int _{2a}^{1}{\frac {dx}{x}}\right)=-\ln 2}

前者はコーシーの主値である。似て非なる次式がよく定義されていないことに注意しよう： ∫ − 1 1 d x x {\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}} （これは?∞+∞になる）

同様に、 lim a → ∞ ∫ − a a 2 x d x x 2 + 1 = 0 {\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=0}

であるが lim a → ∞ ∫ − 2 a a 2 x d x x 2 + 1 = − ln ⁡ 4 {\displaystyle \lim _{a\rightarrow \infty }\int _{-2a}^{a}{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}=-\ln 4}

である。この場合も前者は主値であり、似て非なる次式はよく定義されていない： ∫ − ∞ ∞ 2 x d x x 2 + 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2x\,dx}{x^{2}+1}}} （これは?∞+∞になる）

これらの極限はいずれも∞?∞の形の不定形である。

なおこれらの病的な例は、ルベーグ可積分な関数すなわち絶対値の積分が有限な関数に対しては問題にならない。
脚注^ Moskowitz, M. A.; Paliogiannis, F. (2011). “Improper multiple integrals”. Functions of Several Real Variables. World Scientific. .mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}ISBN 978-981-4299-26-8. Zbl 1233.26001