等比級数は初項が 0 （a = 0）の場合や公比の絶対値が 1 より小さい（|r| < 1）場合に収束する。逆に、初項が 0 でなく（a ≠ 0）公比の絶対値が 1 以上（|r| ≥ 1）の場合には等比級数は発散する。

無限級数は数列の第 n 項までの部分和の極限として定義される。等比級数が収束することは、以下の部分和の極限が収束することから確かめられる。 ∑ k = 0 ∞ a r k := lim n → ∞ ∑ k = 0 n a r k = a lim n → ∞ 1 − r n + 1 1 − r = 。 r 。 < 1 a 1 − r {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}&:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}ar^{k}\\&=a\lim _{n\to \infty }{\frac {\;1-r^{n+1}}{1-r\;}}\\&{\overset {|r|<1}{=}}{\frac {a}{1-r}}\end{aligned}}}

例えば公比 1/2 で初項が 1 の等比級数は 2 に収束する： ∑ k = 0 ∞ ( 1 2 ) k = 1 1 − 1 2 = 2 . {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}={\frac {1}{1-{\tfrac {1}{2}}}}=2\,.} 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ? という幾何級数が 2 に収束することを幾何学的に示した図。
出典[脚注の使い方]^ 『等比数列』 - コトバンク

注釈[脚注の使い方]^ 一般に、a, b, c が 0 でないとき、 b を等比中項と呼ぶ。このとき、a : b = b : c = r が成り立つ。

参考文献
関連項目

級数

数列

超幾何級数

等差数列

ねずみ算

外部リンク

竹之内脩『等比数列』 - コトバンク

世界大百科事典『等比級数』 - コトバンク

『等比数列の和の公式（例題・証明・応用）』 - 高校数学の美しい物語

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