別の例として、a, b, x, y を実数とするとき、 a x 2 + b y 2 {\displaystyle ax^{2}+by^{2}}
は、a > 0, b > 0 のとき、複素数の絶対値の平方を用いて書くことができる。実際に、 z = a x + i b y {\displaystyle z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y} と置けば 。 z 。 2 = z z ∗ = ( a x + i b y ) ( a x − i b y ) = a x 2 + b y 2 {\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}&=zz^{*}\\&=({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y)({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y)\\&=ax^{2}+by^{2}\end{aligned}}}
となる。 正方行列 M が冪等とは M2 = M が成り立つことである。 M = ( a b b 1 − a ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}} は、 a 2 + b 2 = a {\displaystyle a^{2}+b^{2}=a} ならば冪等行列である。平方完成により ( a − 1 2 ) 2 + b 2 = 1 4 {\displaystyle (a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}} M が実行列なら、これは ab-平面において中心 (1/2, 0)、半径 1/2 の円の方程式である。角度 θ を用いて書けば、 M = 1 2 ( 1 − cos θ sin θ sin θ 1 + cos θ ) {\displaystyle M={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}} と媒介変数表示できる。
冪等行列
参考文献^ Narasimhan, Revathi (2008). Precalculus: Building Concepts and Connections
Algebra 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8, pp.539-544
Algebra 2, Saxon, ISBN 0-939798-62-X, pp.214-214, 241-242, 256-257, 398-401
外部リンク.mw-parser-output .side-box{margin:4px 0;box-sizing:border-box;border:1px solid #aaa;font-size:88%;line-height:1.25em;background-color:#f9f9f9;display:flow-root}.mw-parser-output .side-box-abovebelow,.mw-parser-output .side-box-text{padding:0.25em 0.9em}.mw-parser-output .side-box-image{padding:2px 0 2px 0.9em;text-align:center}.mw-parser-output .side-box-imageright{padding:2px 0.9em 2px 0;text-align:center}@media(min-width:500px){.mw-parser-output .side-box-flex{display:flex;align-items:center}.mw-parser-output .side-box-text{flex:1}}@media(min-width:720px){.mw-parser-output .side-box{width:238px}.mw-parser-output .side-box-right{clear:right;float:right;margin-left:1em}.mw-parser-output .side-box-left{margin-right:1em}}ウィキメディア・コモンズには、平方完成に関連するカテゴリがあります。
Weisstein, Eric W. "Completing the Square". mathworld.wolfram.com (英語).
completing the square in nLab(英語)
Completing the square - PlanetMath.org(英語)
Completing the Square at ProofWiki(英語)
How to Complete the Square, Education Portal Academy(英語)
『{{{2}}}』 - 高校数学の美しい物語