数学における実変数函数（英語版）の微分係数、微分商または導関数（どうかんすう、英: derivative）は、別の量（独立変数）に依存して決まる、ある量（関数の値あるいは従属変数）の変化の度合いを測るものであり、これらを求めることを微分（びぶん、英: differentiation）するという。微分演算の結果である微分係数や導関数も用語の濫用でしばしば微分と呼ばれる。
概要

微分は解析学分野（特に微分積分学分野）の基本的な道具である。例えば、動く物体の位置の時間に関する導函数はその物体の速度であり、これは時間が進んだときその物体の位置がどれほど早く変わるかを測る。

一変数函数の適当に選んだ入力値における微分係数は、その点におけるグラフの接線の傾きである。これは導函数がその入力値の近くでその函数の最適線型近似を記述するものであることを意味する。そのような理由で、微分係数はしばしば「瞬間の変化率」として記述される。瞬間の変化率は独立変数に依存する従属変数である。

微分は実多変数函数（英語版）にも拡張できる。この一般化において、導函数はそのグラフが（適当な変換の後）もとの函数のグラフを最適線型近似する線型写像と解釈しなおされる。ヤコビ行列はこの線型変換を独立および従属変数を選ぶことで与えられる基底に関して表現する行列であり、独立変数に関する偏微分を用いて計算することができる。多変数実数値函数に対して、ヤコビ行列は勾配に簡約される。

導函数を求める過程を微分あるいは微分法、微分演算（英: differentiation）と言い、その逆の過程（原始函数を求めること）を反微分という。微分積分学の基本定理は反微分が積分と同じであることを主張する。一変数の微分積分学において微分と積分は基本的な操作の二本柱である[1]。引数が変更されたときの関数のスイングのように、微分の直感的なアイデアを与えるアニメーション。
1変数関数の微分法
直観的な説明

初めに最も簡単な場合を扱う。すなわち、実数値の変数を1個もち、値も1個の実数であるような関数 f(x)（または単に f とも書く）を微分することを考える。「微分する」というのは、より正確には、微分係数（英語版）または導関数のいずれかを求めることを意味している。

説明を単純にするため、f(x) はすべての実数 x に対して定義されているとしよう。すると各々の実数 a に対して、f の a における微分係数と呼ばれる数がある（定義されない場合もあるが、ここでは理想的な状況のみを想定して説明する）。これを f′(a) で表す。また、実数 a に対して微分係数 f′(a) を対応させる関数 f′ のことを f の導関数という。

微分係数 f′(a) とは何であるか直観的に説明するには、いくつかの方法がある。
微分係数 f′(a) とは、関数 f のグラフに x = a において（すなわち点 (a, f(a)) において）接線をひいたときの、その接線の傾きのことである。

微分係数 f′(a) とは、変数 x の値の変化に伴う f(x) の変化を考えたときの、x = a における f(x) の瞬間変化率のことである。

微分係数 f′(a) とは、関数 f のグラフの x = a 付近を（すなわち点 (a, f(a)) 付近を）限りなく拡大していったときに、グラフが直線に近づいて見える場合における、その直線の傾きのことである。

これらはいずれも、論理的に厳密な定義とはいえない。それは、「接線」や「瞬間変化率」について厳密な定義が与えられていないし、またグラフを「限りなく拡大する」ということの意味も定かではないからである。

ごく単純な関数については、上記の説明が微分係数の具体的な値について十分な示唆を与えるのは確かだ。たとえば一次関数 f(x) = Ax + B を考えると、そのグラフは直線なので、「x = a における接線」もその直線自身であると考えるのが妥当だろう。直線 y = Ax + B の傾きは A だから、微分係数 f′(a) の値も A とすべきだと考えられる。また、二次関数についても、グラフの接線の概念を微分とは無関係に定義して、その傾きを求めることはできる。