3以上の自然数n に対して、n角形の対角線の本数 dn は、
1つの頂点あたり n − 3本あり、頂点の数を掛けると2回ずつカウントとなる:
頂点を結ぶ線分が、異なる n個から2個を選ぶ組み合わせだけあり、それらのうち辺(n本だけある)でないものが対角線全体である[4]:
などと考えることができ、 次のようになる: d n = n ( n − 3 ) 2 ( = n C 2 − n = n ( n − 1 ) 2 − n ) {\displaystyle d_{n}={\frac {n(n-3)}{2}}{\Bigl (}{=}\;{}_{n}{\rm {C}}_{2}-n={\frac {n(n-1)}{2}}-n{\Bigr )}}
正n角形(n は3以上の自然数)の対角線の長さの種類は ⌊ n 2 ⌋ − 1 = 2 n − 5 + ( − 1 ) n 4 {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor -1={\frac {2n-5+(-1)^{n}}{4}}} だけある(⌊x⌋ は床関数)。
正六角形の9本の対角線のうち短い6本を組み合わせた図形はダビデの星の形として有名な六芒星になる[5]。 初等教育では多角形の理解のため五角形や六角形の対角線を取り上げることがある[6]。初等教育の教科書では対角線を「向かい合った頂点を結んだ直線」と定義しており[2][6]、五角形などの多角形の場合には「向かい合う頂点」を捉えにくいために様々な反応が見られ、その観点の違いを授業で取り上げる例もある[6]。
初等教育における教材
脚注^ 対角線(たいかくせん)とは? 意味や使い方 - コトバンク
^ a b c “ ⇒第5学年の実践例 I 単元 対角線の数はいくつ?”. 香川県算数教育研究会. 2023年9月27日閲覧。
^ テーマ2:凸多角形に関する問題 p.6.
^ ⇒http://yosshy.sansu.org/taikakusen.htm
^ https://ouchimath.com/seiroku-taikakusen/
^ a b c 手島 勝朗「対角線の存在性をめぐる認知的葛藤の生成」『日本数学教育学会誌』第77巻第4号、公益社団法人 日本数学教育学会、1995年、21-28頁。
関連項目
単純多角形
多面体
辺
主対角線
カントールの対角線論法