正弦定常波の様子は下図のようになる。ただし青線が定常波、赤線と緑線は合成前の2つの進行波である。
導出

上記の特徴は以下のように証明できる。

三角関数の和積公式を用いると

y = A sin ⁡ ( ω t − k x + δ 1 ) + A sin ⁡ ( ω t + k x + δ 2 ) = 2 A sin ⁡ ( ω t + δ 1 + δ 2 2 ) cos ⁡ ( k x − δ 1 − δ 2 2 ) {\displaystyle {\begin{matrix}y&=&A\sin(\omega t-kx+\delta _{1})+A\sin(\omega t+kx+\delta _{2})\\&=&2A\sin \left(\omega t+{\dfrac {\delta _{1}+\delta _{2}}{2}}\right)\cos \left(kx-{\dfrac {\delta _{1}-\delta _{2}}{2}}\right)\end{matrix}}}

上式でxを固定してyを位置xにおける変位y(t)としてみてみよう。このとき

A x = 2 A cos ⁡ ( k x − δ 1 − δ 2 2 ) {\displaystyle A_{x}=2A\cos \left(kx-{\frac {\delta _{1}-\delta _{2}}{2}}\right)}

とすると、y(t)は振幅Axで単振動をしていることがわかる。(次式)

y = A x sin ⁡ ( ω t + δ 1 + δ 2 2 ) {\displaystyle y=A_{x}\sin \left(\omega t+{\dfrac {\delta _{1}+\delta _{2}}{2}}\right)}

この単振動の位相はxによらないので各点の単振動は同位相であることがわかる。また、この単振動の角周波数はω=2π/Tなので、この単振動の周期τは

τ = 2 π ω = T {\displaystyle \tau ={\frac {2\pi }{\omega }}=T}

次にtを固定してyを時刻tにおける波形y(x)としてみてみよう。

A t = 2 A sin ⁡ ( ω t + δ 1 + δ 2 2 ) {\displaystyle A_{t}=2A\sin \left(\omega t+{\dfrac {\delta _{1}+\delta _{2}}{2}}\right)}

とすると、y(x)は

ψ ( x ) = cos ⁡ ( k x − δ 1 − δ 2 2 ) {\displaystyle \psi (x)=\cos \left(kx-{\frac {\delta _{1}-\delta _{2}}{2}}\right)}

で表される波形をy軸方向にAt倍したもの

A t cos ⁡ ( k x − δ 1 − δ 2 2 ) {\displaystyle A_{t}\cos \left(kx-{\frac {\delta _{1}-\delta _{2}}{2}}\right)}

であることがわかる。したがって波形はx軸方向に進行しないことがわかる。そのため節や腹が現れる。

節における振幅AmaxはAxの最大値であるので

A m a x = max { A x } = max { 2 A cos ⁡ ( k x − δ 1 − δ 2 2 ) } = 2 A {\displaystyle A_{max}={\mbox{max}}\left\{A_{x}\right\}={\mbox{max}}\left\{2A\cos \left(kx-{\frac {\delta _{1}-\delta _{2}}{2}}\right)\right\}=2A}

また、tmin、tmax、xmin、xmaxはそれぞれ以下の方程式を満たす。

A t m i n = 2 A sin ⁡ ( ω t m i n + δ 1 + δ 2 2 ) = 0 ⟺ ω t m i n + δ 1 + δ 2 2 = n π {\displaystyle A_{t_{min}}=2A\sin \left(\omega t_{min}+{\dfrac {\delta _{1}+\delta _{2}}{2}}\right)=0\quad \Longleftrightarrow \quad \omega t_{min}+{\dfrac {\delta _{1}+\delta _{2}}{2}}=n\pi }
A t m a x = 2 A sin ⁡ ( ω t m a x + δ 1 + δ 2 2 ) = 2 A ⟺ ω t m a x + δ 1 + δ 2 2 = 2 n + 1 2 π {\displaystyle A_{t_{max}}=2A\sin \left(\omega t_{max}+{\dfrac {\delta _{1}+\delta _{2}}{2}}\right)=2A\quad \Longleftrightarrow \quad \omega t_{max}+{\dfrac {\delta _{1}+\delta _{2}}{2}}={\frac {2n+1}{2}}\pi }