となり、積は f g = ∑ k = 0 m + n ( ∑ i = 0 k a i b k − i ) x k {\displaystyle fg=\sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}\right)x^{k}}

となる。

多項式 f と数 c に対し、f の c 倍（一般には定数倍ないしスカラー倍という）とは、f の各項の係数を c 倍して得られる多項式である。これも1変数の場合について式で表すと、 f = ∑ k = 0 m a k x k {\textstyle f=\sum _{k=0}^{m}a_{k}x^{k}} に対して c f = ∑ k = 0 m c a k x k {\displaystyle cf=\sum _{k=0}^{m}ca_{k}x^{k}}

である。

これらの演算は、多項式 f, g を多項式関数（後述）とみなしたときの、関数としての加法、乗法、定数倍と対応している。また、多項式の乗法は、数列に対する畳み込みとみることもできる。

可換環 R 上の不定元 x1, x2, …, xm に関する多項式全体の集合は、上述の演算によって R 上の多元環になる。これを（x1, x2, …, xm を不定元とする）R 上の m 変数多項式環といい、記号 R[x1, x2, …, xm] で表す。
除法詳細は「多項式の除法（英語版、フランス語版）」を参照

多項式の除法とは、体 K 上の（1変数）多項式 f, g（ただし g ≠ 0）に対して、次の2条件をみたす多項式 Q, R を求める手続きである。
f = gQ + R

R の次数は g の次数よりも小さい。（ただし、定数多項式 0 の次数は 0 より小さいものと解釈する。）

これらの条件をみたす多項式 Q, R の組は必ず存在し、しかも一意的である。Q のことを f を g で割った商、R のことを余り（または剰余）という。f を g で割った余りが 0 のとき、すなわち f = gQ をみたす Q が存在するとき、f は g で割り切れるという。

より一般に、単位元をもつ可換環 R 上の多項式 f, g についても、g がモニック多項式（最高次の項の係数が 1）ならば、同様にして f を g で割った商および余りを定めることができる。

多項式の除法は、より一般の、余りつきの除法の特別な場合とみなすことができる。除法の原理、ユークリッド環も参照せよ。

なお、多項式の除法に関する商のほかに、有理式としての商 f/g を考えることもできる。両者は異なるものである。
微分・積分詳細は「形式微分」を参照

1変数多項式 f = ∑ k = 0 m a k x k {\textstyle f=\sum _{k=0}^{m}a_{k}x^{k}} に対して、その微分とは、 f ′ = ∑ k = 1 m k a k x k − 1 {\displaystyle f'=\sum _{k=1}^{m}ka_{k}x^{k-1}}

で定められる多項式 f′ をつくる演算である。f′ のことを f の導多項式という。同様にして、多変数多項式についても、各々の不定元に関する微分を考えることができる。

実数または複素数を係数とする多項式 f については、それを多項式関数（後述）とみなして微分することもできるが、上述の多項式としての微分は、この関数としての微分（多変数多項式の場合には偏微分）と対応している。関数としての微分と区別するため、多項式としての微分を形式的微分とよぶことがある。形式的微分には、多項式の係数が実数や複素数でなくても問題なく定義できるという利点がある。

多項式 f に対して、導多項式が f に一致するような多項式 F を求める操作のことを（形式的）積分という。
代数方程式詳細は「代数方程式」および「多項式の根」を参照

多項式の不定元を数に置き換えることを代入という。たとえば、多項式 f(x) = anxn + an − 1xn − 1 + … + a1x + a0 の不定元 x に数 c を代入することで f ( c ) = a n c n + a n − 1 c n − 1 + ⋯ + a 1 c + a 0 {\displaystyle f(c)=a_{n}c^{n}+a_{n-1}c^{n-1}+\dots +a_{1}c+a_{0}}

という数が得られる[注釈 1]。

m 変数多項式 f(x1, …, xm) を用いて f(x1, …, xm) = 0 という形に表される方程式のことを代数方程式という。またその解、すなわち f(c1, …, cm) = 0 を満たす数の組 (c1, …, cm) のことを、多項式 f(x1, …, xm) の零点という。

1変数多項式 f(x) の零点のことを f(x) の根ともいう。数 c が f(x) の根であることは、f(x) が1次式 x − c で割り切れるための必要十分条件である（因数定理）。f(x) が (x − c)k で割り切れ、かつ (x − c)k + 1 では割り切れないとき、c は f(x) の重複度 k の根であるという。2以上の重複度をもつ根は重根とよばれる。

体 K 上の1変数多項式 f が K の代数閉包において重根をもつことは、f と導多項式 f′ が定数でない共通因子をもつことと同値である（関連して、判別式を参照せよ）。f が K の代数閉包において重根をもたないとき、f は分離多項式であるという。
因数分解詳細は「多項式の因数分解」および「因数分解#多項式の因数分解」を参照

与えられた多項式 f をいくつかの多項式の積として表すことを、多項式 f の因数分解という。

因数分解を行うためのもっとも単純な方法は、因数分解の結果として現れる多項式の係数を未知数とみなし、それらに関する方程式を立てて解を探すことである。たとえば、2次式 Ax2 + Bx + C を1次式の積に因数分解するには、(ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd だから、A = ac, B = ad + bc, C = bd が満たされるような数 a, b, c, d を探せばよい。また、特に1変数の多項式を因数分解する場合には、因数定理も重要な道具となる。

因数分解に関連して、1変数の場合における既約多項式の概念がある。ここでは説明を簡単にするため係数の集合は体 K であるとする。