しかし、二つの不定元 x, y に関する多項式は、y に関する多項式を係数とする x に関する多項式と見ることも、x に関する多項式を係数とする y に関する多項式と見ることもできる。x2y2 + 3x3 + 4y = (3)x3 + (y2)x2 + (4y) = (x2)y2 + (4)y + (3x3)

は x に関して次数（偏次数）3 および y に関して次数 2 の多項式である。
抽象代数学における次数函数

環 R が与えられたとき、多項式環 R[x] は R に係数をとる、不定元 x に関する多項式全体の成す集合である。R が体であるような特別の場合には、多項式環 R[x] は主イデアル整域であり、より重要なことにユークリッド整域を成す。

ここで、体上の多項式に対する次数函数は、ユークリッド整域における「ノルム」の満たすべき性質をすべて満たす。つまり、二つの多項式 f(x), g(x) が与えられたとき、それらの積 f(x)g(x) の次数は f, g 個々の次数を超えなければならない。実はより強くdeg(f(x)g(x)) = deg(f(x)) + deg(g(x))

が成り立つ。体を成さない環上の次数函数ではいけない理由の説明として以下のような例を考えよう。R = ?/4? は整数の法 4 に関する合同類環とする。この環が体ではない（さらに整域ですらない）ことは 2 × 2 = 4 ≡ 0 (mod 4) を見れば明らか。ここで f(x) = g(x) = 2x + 1 ととれば f(x)g(x) = 4x2 + 4x + 1 = 1 ゆえ deg(f⋅g) = 0 であり、これは f, g の何れの次数（どちらも次数 1）よりも大きくない。

ユークリッド整域の「ノルム」函数はその環の零元に対しては定義されないから、零多項式 f(x) = 0 の次数はユークリッド整域の「ノルム」の規則に従う意味でも定義されないと考えることができる。
注
注釈^ 簡単のためここではどの項もあるいはどの変数に関しても次数が同じ斉次多項式を例に出してある。
^ a b c ここでは体または整域上の多項式を考えている。多項式の係数環が零因子を持つ場合には、これは必ずしも正しくない。
^ 例えば整数の合同類環 ?/4? では deg(1 + 2x) = 1 だが deg(2(1 + 2x)) = deg(2 + 4x) = deg(2) = 0.
^ 例えば ?/4? では deg(2x) + deg(1 + 2x) = 1 + 1 = 2 だが deg(2x(1 + 2x)) = deg(2x) = 1.
^ 例えば ?/4? では deg(2x)deg(1 + 2x) = 1 ⋅ 1 = 1 だが deg(2x ? (1 + 2x)) = deg(2 + 4x) = deg(2) = 0.

出典^ “ ⇒Names of Polynomials” (1997年11月25日). 2012年2月5日閲覧。
^ Mac Lane and Birkhoff (1999) define "linear", "quadratic", "cubic", "quartic", and "quintic". (p. 107)
^ Shafarevich (2003) says of a polynomial of degree zero, f ( x ) = a 0 {\displaystyle f(x)=a_{0}} : "Such a polynomial is called a constant because if we substitute different values of x in it, we always obtain the same value a 0 {\displaystyle a_{0}} ." (p. 23)
^ James Cockle proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. (Mechanics Magazine, Vol. LV, p. 171)
^ King (2009) defines "quadratic", "cubic", "quartic", "quintic", "sextic", "septic", and "octic".
^ 例えば以下のような用例がある:

Shafarevich (2003) says of the zero polynomial: "In this case, we consider that the degree of the polynomial is undefined." (p. 27)

Childs (1995) uses ?1. (p. 233)

Childs (2009) uses ?∞ (p. 287), however he excludes zero polynomials in his Proposition 1 (p. 288) and then explains that the proposition holds for zero polynomials "with the reasonable assumption that − ∞ {\displaystyle -\infty } + m = − ∞ {\displaystyle -\infty } for m any integer or m = − ∞ {\displaystyle -\infty } ".

Axler (1997) uses ?∞. (p. 64)

Grillet (2007) says: "The degree of the zero polynomial 0 is sometimes left undefined or is variously defined as ?1 ∈ ? or as − ∞ {\displaystyle -\infty } , as long as deg 0 < deg A for all A ≠ 0." (A is a polynomial.) However, he excludes zero polynomials in his Proposition 5.3. (p. 121)

^ .mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}Barile, Margherita. "Zero Polynomial". mathworld.wolfram.com (英語).
^ Axler (1997) gives these rules and says: "The 0 polynomial is declared to have degree − ∞ {\displaystyle -\infty } so that exceptions are not needed for various reasonable results." (p. 64)

参考文献

Axler, Sheldon (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer Science & Business Media, https://books.google.co.jp/books?id=ovIYVIlithQC&lpg=PA64&vq=%220+polynomial%22&pg=PA64&redir_esc=y&hl=ja#v=onepage&q=%220%20polynomial%22&f=false 

Childs, Lindsay N. (1995), A Concrete Introduction to Higher Algebra (2nd ed.), Springer Science & Business Media, https://books.google.co.jp/books?id=rUApHgaTVx0C&lpg=PA279&vq=%22zero+polynomial%22&pg=PA233&redir_esc=y&hl=ja#v=onepage&q=%22zero%20polynomial%22&f=false