多角形数 - 暇つぶしWikipedia

多角形数

となり、したがって Pp,n は等差数列の和 P p , n = ∑ k = 0 n − 1 { ( p − 2 ) k + 1 } = 1 2 n [ 1 + { ( p − 2 ) ( n − 1 ) + 1 } ] = ( p − 2 ) n 2 − ( p − 4 ) n 2 {\displaystyle {\begin{aligned}P_{p,n}&=\sum _{k=0}^{n-1}\left\{(p-2)k+1\right\}\\&={\frac {1}{2}}n\left[1+\left\{(p-2)(n-1)+1\right\}\right]\\&={\frac {(p-2)n^{2}-(p-4)n}{2}}\end{aligned}}}

となる。

この式から、2 番目の p 角数は p であり、3 番目の p 角数は 3(p − 1) であることなどが分かる。

なおここで、形式的に「二角数」(p = 2) を考えると、 P 2 , n = n {\displaystyle P_{2,n}=n\,}

となり、自然数列そのものになる。これは、点を直線状に並べることに相当する。ただし古代ギリシャの数学者が直線数と呼んでいたのは、矩形に並べられることができないことからである。
性質

任意の自然数は、高々 p 個の p 角数の和で表せる。これを多角数定理という。

1 番目の多角数は 1、2 番目の p 角数は p である。したがって、2 以外の自然数はなんらかの多角数である。

3 番目以降の多角数は、合成数である。

n 番目の p 角数は、n が偶数で p が奇数のときに限り、n の倍数でない。

n 番目の p 角数と n + 1 番目の p 角数の差は、(p ? 2) n + 1 である。

n 番目の p 角数と n 番目の p + 1 角数の差は、p によらず n だけで決まり、n ? 1 番目の三角数に等しい。（次の表を縦に読むと等差数列になっている。）

数表

オンライン整数列大辞典に掲載されている多角数（三十角数まで）名前一般式n = 12345678910111213 オンライン整数列大辞典リスト
三角数(n2 + n)/21 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91A000217Table of n. a(n) for n = 0..
四角数n21 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169A000290Table of n, a(n) for n = 0..
五角数(3n2 ? n)/21 5 12 22 35 51 70 92 117 145 176 210 247A000326Table of n, a(n) for n = 0..
六角数2n2 ? n1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 231 276 325A000384Table of n, a(n) for n = 0..
七角数(5n2 ? 3n)/21 7 18 34 55 81 112 148 189 235 286 342 403A000566Table of n, a(n) for n = 0..
八角数3n2 ? 2n1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 341 408 481A000567Table of n, a(n) for n = 0..
九角数(7n2 ? 5n)/21 9 24 46 75 111 154 204 261 325 396 474 559A001106Table of n, a(n) for n = 0..
十角数4n2 ? 3n1 10 27 52 85 126 175 232 297 370 451 540 637A001107Table of n, a(n) for n = 0..
十一角数(9n2 ? 7n)/21 11 30 58 95 141 196 260 333 415 506 606 715A051682Table of n, a(n) for n = 0..
十二角数5n2 ? 4n1 12 33 64 105 156 217 288 369 460 561 672793A051624Table of n, a(n) for n = 0..
十三角数(11n2 ? 9n)/21 13 36 70 115 171 238 316 405 505 616 738 871A051865Table of n, a(n) for n = 0..
十四角数6n2 ? 5n1 14 39 76 125 186 259 344 441 550 671804949A051866Table of n, a(n) for n = 0..
十五角数(13n2 ? 11n)/21 15 42 82 135 201 280 372 477 5957268701027A051867Table of n, a(n) for n = 0..
十六角数7n2 ? 6n1 16 45 88 145 216 301 400 513 640 7819361105A051868Table of n, a(n) for n = 0..
十七角数(15n2 ? 13n)/21 17 48 94 155 231 322 428 549 685 836 10021183A051869Table of n, a(n) for n = 0..
十八角数8n2 ? 7n1 18 51 100 165 246 343 456 585 73089110681261A051870Table of n, a(n) for n = 0..
十九角数(17n2 ? 15n)/21 19 54 106 175 261 364 484 621 775 946 11341339A051871Table of n, a(n) for n = 0..
二十角数9n2 ? 8n1 20 57 112 185 276 385 512 657 820 1001 12001417A051872Table of n, a(n) for n = 0..
二十一角数(19n2 ? 17n)/21 21 60 118 195 291 406 540 693 865105612661495A051873Table of n, a(n) for n = 0..
二十二角数10n2 ? 9n1 22 63 124 205 306 427 568 729 910 1111 13321573A051874Table of n, a(n) for n = 0..
二十三角数(21n2 ? 19n)/21 23 66 130 215 321 448 596 765955116613981651A051875Table of n, a(n) for n = 0..
二十四角数11n2 ? 10n1 24 69 136 225 336 469 624 801 1000122114641729A051876Table of n, a(n) for n = 0..
二十五角数(23n2 ? 21n)/21 25 72 142 235 351 490 6528371045127615301807A255184Table of n, a(n) for n = 0..
二十六角数12n2 ? 11n1 26 75 148 245 366 511 6808731090 133115961885A255185Table of n, a(n) for n = 0..
二十七角数(25n2 ? 23n)/21 27 78 154 255 381 532 7089091135138616621963A255186Table of n, a(n) for n = 0..

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