一変数多項式に関するいくつかの定義は一般化される:

単項式とは、A の各元と MS の各元との積を言う。このとき

A の元をこの単項式の係数と呼ぶ。

単項式の次数は MS の元に現れる不定元の冪指数の和を言う。


非零多項式の次数は、この多項式に現れる単項式の次数のうち最大のものを言う。（零多項式の次数は負の無限大とする。）

定数多項式は零多項式または零次多項式である。

多項式の定数項は零次の単項式の係数である。

他方、例えば「モニック多項式」や「最高次単項式」のような概念はもはや意味を為さない。

整域上の多項式環では、一変数の場合と同様に、二つの非零多項式の積の次数は各多項式の次数の和に等しい。

A が可換体のとき、多項式環 A[X] はユークリッド環であった。これは多変数の場合には拡張されない。例えば、二変数多項式環 A[X, Y]は、X, Y の生成するイデアル (X, Y) が主イデアルでないから、主環でない（したがってユークリッド環にはならない）。

したがってより弱い性質を見る必要がある。一変数の場合において、次数の概念はヒルベルトの基定理「A がネーター環ならば多項式環 A[X] もそうである」を確立することを可能にする。 A[X1, …,Xn] の帰納的定義から、直ちに以下を得る:
定理 (ヒルベルトの基定理)
A がネーター環ならば、有限個の変数に関する A-係数多項式環もそうである。

この結果は無限変数の場合には拡張できない。例えば A[(Xn)n∈?] のイデアル列 (X0, …, Xn) (n ∈ ?) は真に増大するから、この環はネーターでない。

代数的整数論の基本的な結果に従えば、代数体の任意の整数環は有限型 ?-加群、より強く（英語版）、有限型可換 ?-多元環であり、したがってそれは多項式環の普遍性により ?[X1, …,Xn] の剰余環で、ネーターとなる。その帰結として
命題
代数体の（代数的）整数からなる任意の環はネーターである。
函手性

環 A が一意分解環ならば A[X] もそうである。帰納的に有限または無限変数の多項式環もまた、一意分解環となる（一意分解環の項も参照）:
命題
A-係数の多変数多項式環が一意分解環となるための必要十分条件は A がそうであることである。

このように一意分解性が遺伝することはネーター性の場合と異なっている。不定元の数が有限個であることは必要でない。他方、この函手性は剰余環構成では保たれないから、数体には（二次体でさえ）その整数環が一意分解環とならないものが存在する。
代数的集合詳細は「代数的集合」を参照

k を代数閉体とする。k-係数多項式 f(X1, …, Xn) の零点集合は f(x1, …, xn) = 0 を満たす kn の点 (x1, …, xn) 全体の成す集合を言う。kn における代数的集合とは k[X1, …, Xn] に属する多項式からなる族の零点集合の交わりを言う。多項式環 k[X1, …, Xn] はネーターであるから、常に多項式の有限族に対して考えれば十分である。代数的集合は代数幾何学において基本的である。
重要な多項式のクラス
斉次多項式詳細は「斉次多項式」を参照

次数 d（零または正の整数）の斉次多項式は次数 d の単項式の線型結合である。零多項式は任意の次数 d に対する d-次の斉次多項式と考える。例えば二変数多項式 2X3 + X2Y ? 5Y3 は次数 3 の斉次多項式だが、2X3 + X2Y3 ? 5Y3 は斉次でない。全次数 d の任意の多項式 P は次数がそれぞれ 0, …, d の斉次多項式 P0, …, Pd の一意的な和に書ける。このとき各 Pi を P の次数 i の斉次成分と言う。先ほどの非斉次の例では、次数 3 の斉次成分は 2X3 ? 5Y3, 次数 5 の斉次成分は X2Y3 でそのほかの斉次成分は 0 である。斉次成分への分解を別の述べ方をすれば、A[X1, …, Xn] は Ad[X1, … , Xn] の加群の直和に書ける。ただし d は非負整数を亙り、また Ad[X1, …, Xn] は次数 d の斉次多項式全体の成す A-部分加群とする。それぞれ次数 d, e の二つの斉次多項式の積が次数 d + e の斉次多項式であり、対して和がふたたび斉次となるのは d = e のときに限ることに注意する。
多変数函数のオイラーの定理（フランス語版）
P は次数 d の斉次多項式ならば d P = ∑ 1 ≤ i ≤ n X i ∂ P ∂ X i {\displaystyle dP=\sum _{1\leq i\leq n}X_{i}{\partial P \over \partial X_{i}}} が成り立つ。
対称多項式詳細は「対称式」を参照

n 変数の対称多項式とは、それが任意の二つの不定元の置換のもとで不変であるときに言う。例えば三変数で XY + YZ + ZX は対称であり、他方 X2Y + Y2Z + Z2X はそうでない。対称性により任意の対称多項式は斉次だが、任意の斉次多項式の場合と異なり、多項式の和と積のもとでこの対称性は保たれるから、対称多項式の全体は多項式環の部分環となる。
基本対称多項式
1 ≤ i ≤ n とするとき、i-次の基本対称多項式 Si は i-次単項式 Xk1?Xki を 1≤ k1 < ? < ki ≤ n なる範囲に亙って取った和を言う。例えば、最初は各不定元を一つずつとった和 S1 ? X1 + ? + Xn であり、また、すべての不定元を一つずつ掛けた Sn ? X1?Xn が最後の基本対称多項式である。
対称多項式の基本定理（フランス語版）
任意の対称多項式は、基本対称多項式の多項式に一意的に書くことができる。
ニュートンの公式（英語版）
d > 0 を整数として、Pd ? X d
1  + ? + X d
n  は対称多項式であり、d-次のニュートン多項式と呼ばれる。Pd を基本対称多項式の函数として表す式は（上の定理が示唆するように）ニュートンの公式から間接的に導出できる: { P d − S 1 P d − 1 + S 2 P d − 2 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 S n − 1 P d − n + 1 + ( − 1 ) n S n P d − n = 0 ( d ≥ n ) P d − S 1 P d − 1 + S 2 P d − 2 + ⋯ + ( − 1 ) d − 1 S d − 1 P 1 + ( − 1 ) d d S d = 0 ( d < n ) . {\displaystyle {\begin{cases}P_{d}-S_{1}P_{d-1}+S_{2}P_{d-2}+\dotsb +(-1)^{n-1}S_{n-1}P_{d-n+1}+(-1)^{n}S_{n}P_{d-n}=0&(d\geq n)\\[5pt]P_{d}-S_{1}P_{d-1}+S_{2}P_{d-2}+\dotsb +(-1)^{d-1}S_{d-1}P_{1}+(-1)^{d}dS_{d}=0&(d<n)\end{cases}}.} 標数 0 の体上で、これら関係式は基本対称式をニュートン多項式の多項式として書くことを可能にする。