と書くことができる。ただし、i, j, k はそれぞれ x-軸、y-軸、z-軸方向の単位ベクトルである。

これは ( ∂ F z ∂ y − ∂ F y ∂ z ) i + ( ∂ F x ∂ z − ∂ F z ∂ x ) j + ( ∂ F y ∂ x − ∂ F x ∂ y ) k {\displaystyle \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right){\boldsymbol {i}}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right){\boldsymbol {j}}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right){\boldsymbol {k}}}

と書くことと同じである[5]。これは座標を用いた表示だけれども、この式が座標軸に関する真の回転に対しては不変であり、座標軸に関する鏡映では符号が反転することが確認できる。

一般の座標系における回転は ( ∇ × F ) k = ε k ℓ m ∂ ℓ F m {\displaystyle (\nabla \times {\boldsymbol {F}})^{k}=\varepsilon ^{k\ell m}\partial _{\ell }F_{m}}

で与えられる[6]。ここで、ε はエディントンのイプシロンであり、この計量テンソルは F の下付き添字に対するものとして用いられる。またアインシュタインの和の規約に従って和の記号は省略した。

この式はつまり、各座標ベクトル場を ek とすれば ∇ × F = e k ε k ℓ m ∂ ℓ F m {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {e}}_{k}\varepsilon ^{k\ell m}\partial _{\ell }F_{m}}

であることを言っているのである。

これはまた、外微分を用いて ∇ × F = [ ⋆ ( d F ♭ ) ] ♯ {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {F}}={\bigl [}{\star }({\boldsymbol {d}}F^{\flat }){\bigr ]}^{\sharp }}

と書くこともできる。ここで、 ♭ {\textstyle \flat } と ♯ {\textstyle \sharp } は添字の上げ下げ同型（英語版）であり、 ⋆ {\textstyle \star } はホッジ・スターとする。

この公式を見れば一般座標系で F の回転をどのように計算すべきかがわかり、回転作用素を任意の向きを持つ三次元リーマン多様体に対して一般化することができる。これは向きに依存するから、回転は掌性（英語版）演算、即ち向きを逆にすれば回転の向きも同じく逆になる。
例
単純なベクトル場

x と y に線型に依存するベクトル場 F ( x , y , z ) = y x ^ − x y ^ {\displaystyle {\boldsymbol {F}}(x,y,z)=y{\hat {\boldsymbol {x}}}-x{\hat {\boldsymbol {y}}}}

をとれば、これはF(x, y, z) = yx? ? x?

のような様子で、見た目通りこの場が「回転」していることがわかる。この場に、どこでもよいから外輪 (paddle wheel) を置けば、外輪が時計回りに回転することはすぐに分かる。右手系に従うならば、この「回転」は、画面に向かって垂直に入る向きであることが期待される。右手系に座標系を取るのであれば、画面へ垂直に向かっていく方向は負の z-方向である。ここに x, y が出てこない（xy-平面に直交する）ことは交叉積と同様である。

さて、この場の回転を計算すれば、 ∇ × F = 0 x ^ + 0 y ^ + [ ∂ ∂ x ( − x ) − ∂ ∂ y y ] z ^ = − 2 z ^ {\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {F}}=0{\hat {\boldsymbol {x}}}+0{\hat {\boldsymbol {y}}}+\left[{\frac {\partial }{\partial x}}(-x)-{\frac {\partial }{\partial y}}y\right]{\hat {\boldsymbol {z}}}=-2{\hat {\boldsymbol {z}}}}