Δ, P, R, Δ0, D に関して、以下の事実が成立する[1]。
Δ < 0 のとき、異なる2個の実数解と1組の共役複素数解を持つ。

Δ > 0 のとき、
P < 0 かつ D < 0 ならば、相異なる4個の実数解を持つ。

P > 0 または D > 0 ならば、2組の共役複素数解を持つ。


Δ = 0 のときにのみ、方程式は重解を持ち、
P < 0 かつ D < 0 かつ Δ0 ≠ 0 ならば、1個の実数二重解と、異なる2個の重複度 1 の実数解を持つ。

D > 0 または（P < 0 かつ（D, R のどちらかが0でない））ならば、1個の実数二重解と、1組の共役複素数解を持つ。

Δ0 = 0 かつ D ≠ 0ならば、1個の実数三重解と、1個の重複度 1 の実数解を持つ。

D = 0 のとき、
P < 0 ならば、異なる 2個の実数二重解を持つ。

P < 0 かつ R = 0 ならば、1組の共役複素数である、異なる 2個の虚数二重解を持つ。

Δ0 = 0 ならば、−.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}b/4a を実数四重解として持つ。

以上には、例えば Δ > 0 かつ P・D < 0 である場合などが記されていない。しかし、このような組み合わせは実際には存在しない。
フェラーリの解法

フェラーリの解法は、一般的な四次方程式の解法のうちで最初に与えられた解法である。四次方程式a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0 (a4 ≠ 0)

を a4 で割りx4 + A3 x3 + A2 x2 + A1 x + A0 = 0

の形にする。( A n = a n a 4 {\displaystyle A_{n}={\frac {a_{n}}{a_{4}}}} ) B 3 := A 3 4 {\displaystyle B_{3}:={\frac {A_{3}}{4}}}

としx = y − B3

によって変数変換を行うとy4 + (A2 − 6 B32) y2 + (A1 − 2 A2 B3 + 8 B33) y + (A0 − A1 B3 + A2 B32 − 3 B34) = 0

となり、3次の項が消えた方程式が得られる。見やすいようにy4 + p y2 + q y + r = 0

と書く。q = 0 の時は、複二次式として解けばよいので、以後は q ≠ 0 とする。

媒介変数 u ≠ 0 を用い ( y 2 + p + u 2 ) 2 − u ( y − q 2 u ) 2 = 0 {\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p+u}{2}}\right)^{2}-u\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)^{2}=0}

と変形する。ここで上式を展開し係数を比較すると、u の三次方程式u (p + u)2 − 4 r u = q2

が得られる。このような補助的な方程式を、与えられた四次方程式に関する三次分解方程式(resolvent cubic equation) という。q ≠ 0 なので、この分解方程式の解は u ≠ 0 を満たしており、この解の一つを u として取る。また、求める四次方程式は { ( y 2 + p + u 2 ) + u ( y − q 2 u ) } { ( y 2 + p + u 2 ) − u ( y − q 2 u ) } = 0 {\displaystyle \left\{\left(y^{2}+{\frac {p+u}{2}}\right)+{\sqrt {u}}\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)\right\}\left\{\left(y^{2}+{\frac {p+u}{2}}\right)-{\sqrt {u}}\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)\right\}=0}

となり、この2つの二次方程式から、四次方程式の解を求めることができる。
デカルトの方法

デカルトは、著書『方法序説』の試論の一つである『幾何学』において四次方程式y4 + p y2 + q y + r = 0