有理数は（分母が0でない）ふたつの整数の商として定義できる。

より詳細な定義は次のとおりである[4]。実数 r が有理数であることは分母が0でない2整数の商として表されることと同値である。有理数でない実数は無理数である。

より正式には次のようになる。実数 r が与えられたとき、r が有理数であるとは r = a/b かつ b ≠ 0 を満たす整数 a および b が存在することと同値である。

無理数（2整数の商でない数）の存在は幾何学で、正方形の辺に対する対角線の長さの比として最初に発見された[5]。
より一般な商

算術以外で、多くの数学分野で「商」の語がより大きな構造を解体して作られる構造の事を指すのに借用されている。同値関係にある集合が与えられた際、「商集合」はその同値関係を要素として含むようにつくられる。商群は群を類似の剰余類の個数に合わせてばらすことでつくられ、商線型空間も同じようにベクトル空間を類似の線型部分空間に分割することで得られる。
関連項目

積

商圏（英語版）

商グラフ（英語版）

整数除法

商加群

商対象

形式言語の商（英語版）: 左商（left quotient）および右商（right quotient）が存在する

商環

商集合

商空間

商型（英語版）

商算と分割（英語版）

出典^ “ ⇒Quotient”. Dictionary.com. 2012年9月12日閲覧。
^ Weisstein, Eric W.. “Integer Division” (英語). mathworld.wolfram.com. 2020年8月27日閲覧。
^ .mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}Weisstein, Eric W. "Quotient". mathworld.wolfram.com (英語).
^ Epp, Susanna S. (2011-01-01). Discrete mathematics with applications. Brooks/Cole. pp. 163. ISBN 9780495391326. OCLC 970542319 
^ “Irrationality of the square root of 2.”. www.math.utah.edu. 2020年8月27日閲覧。