商の微分法則
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連鎖律による証明 — f(x) = g(x)/h(x) = g(x)⋅h(x)−1 と見れば、積の法則により f ′ ( x ) = g ′ ( x ) h ( x ) − 1 + g ( x ) ( h ( x ) − 1 ) ′ {\textstyle f'(x)=g'(x)h(x)^{-1}+g(x)\color {green}(h(x)^{-1})'} であり、右辺第二項の微分は連鎖律のもとで冪の微分法則（英語版）を用いれば、結局 f ′ ( x ) = g ′ ( x ) h ( x ) − 1 + g ( x ) ⋅ ( − 1 ) h ( x ) − 2 h ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)=g'(x)h(x)^{-1}+g(x)\cdot \color {green}(-1)h(x)^{-2}h'(x)} を得る。整理すれば f ′ ( x ) = g ′ ( x ) h ( x ) − g ( x ) h ′ ( x ) h ( x ) 2 = g ′ ( x ) h ( x ) − g ( x ) h ′ ( x ) h ( x ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {g'(x)}{h(x)}}-{\frac {g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}\end{aligned}}} となる。
例
f(x) ? tan(x) = sin(x)/cos(x) の導函数を求めるのに商の法則が利用できる: d d x tan ⁡ x = d d x sin ⁡ x cos ⁡ x = ( d d x sin ⁡ x ) ( cos ⁡ x ) − ( sin ⁡ x ) ( d d x cos ⁡ x ) cos 2 ⁡ x = cos 2 ⁡ x + sin 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x = 1 cos 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\tan x&={\frac {d}{dx}}{\frac {\sin x}{\cos x}}\\&={\frac {({\frac {d}{dx}}\sin x)(\cos x)-(\sin x)({\frac {d}{dx}}\cos x)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.\end{aligned}}}

高階版

陰函数微分を用いれば、商の n-階微分も（(n −1)-階までの導函数を用いて）計算することができる。例えば、f⋅h = g を両辺二回微分して f″ について解けば f ″ = ( g h ) ″ = g ″ − 2 f ′ h ′ − f h ″ h {\displaystyle f''=\left({\frac {g}{h}}\right)''={\frac {g''-2f'h'-fh''}{h}}} を得る。
関連項目

微分積分学の基本定理

解析学

積の微分法則

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