体 K が与えられたとき、その乗法構造を忘れて加法に関するアーベル群と見たときの代数系 (K, +) を体 K の加法群と呼ぶ。加法群を K+ や Ga(K) と記す場合もある。また乗法構造のみに注目して、0 を除く K の元の全体 K* に乗法を与えて得られる代数系 (K*, ×) は群であり、乗法群と呼ばれる。K の乗法群をしばしば K× とも記し、Gm(K) と記されることもある。体 K の乗法群の任意の有限部分群は巡回群である。
体の元の濃度を位数といい、有限な位数を持つ体を有限体と呼び、そうでない体を無限体と呼ぶ。有限斜体は常に可換体である（ウェダバーンの小定理）。
n1 で単位元 1 を n 回足したものを表すとき、n1 = 0 となるような正の整数 n のうち最も小さなものをその体の標数という。ただし、そのような n が存在しないとき標数は 0 であると決める。体の標数は 0 または素数である。
体は 0 以外の元が全て可逆となる単位的環である。したがって、そのイデアルや部分環の概念を考えることができるが、体は自明でないイデアルを持たない（これを体は単純環であるという）。体の単位的環としての部分環が再び体をなすとき、部分体という。
体 K, L とその間の写像 f: K → L が与えられたとき、f が体の準同型であるとは、単位的環としての準同型であることをいう。つまり、体準同型 f は K の任意の元 a, b および、K, L それぞれの単位元 1K, 1L に対して f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) {\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)} f ( a b ) = f ( a ) f ( b ) {\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)} f ( 1 K ) = 1 L {\displaystyle f(1_{K})=1_{L}}
を全て満たす。また、その像 Im(f) = {f(x) 。x ∈ K} は L の部分体となり、核 Ker(f) = {x ∈ K 。f(x) = 0L} は K のイデアルとなるが、体が単純環であることと単位元が零元に写ることはないことから、体の準同型は必ず単射になる。したがって、体の準同型 f: K → L の像 Im(f) は K に体として同型である。これを中への同型と呼び、さらに f が全射であるとき上への同型であるという。
脚注[脚注の使い方]
注釈^ a b 本記事において単に体と言った場合「可換」体を意味するものとする。
関連項目
環論
ベクトル空間
有限体
標数
外部リンク
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Kuz'min, L.V. (2001), “Field”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Field&oldid=29756
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