注意すべき点として、2 つの数に対する加法を L + R と表したときに左の項 L と右の項 R が「元の数」と「加える数」のいずれであるかは加法の定義に含まれない。
性質

数の加法のみに注目してその性質を挙げると以下のようなものがある。

対称性（交換法則）: n + m = m + n有限個の数を足すときは、順番を入れ替えて計算しても和は変わらない（ただし、無限個の数を足す場合は答えが変わってしまう場合があるため、順番を変えてはならない）。
例
1 + 3 + 9 = 1 + 9 + 3 = 13

推移性（結合法則）: (n + m) + k = n + (m + k) = n + m + k有限個の数を足すためには、どこから加えていっても結果は同じである。

これらは抽象代数学においては "加法" と呼ぶべきものの満たすべき公理的な性質と見なされる。他にも

単位元の存在 : ある数に0を加えても数は変わらない。
n + 0 = n

逆元の存在 : ある数と、絶対値が同じで符号の異なる数との和は0である。
(−n) + n = 0などが加法に関する性質として挙げられる。
素朴な定義

2つの量があり、その2つの量を「合わせた量」を求める時の演算を加法と定義すれば多くの場合に適用できる。単に「数が大きくなる演算が加法」とすれば、正の数でしかその定義は成り立たないが、「合わせた量」で定義すると、負の数でも分数や小数でも定義できる。

また加える順番は結果には関係なく、加える順番を自由に変えたとしても、得られる結果は常に等しくなる。このことは 2 つのコップに水が入っていたとして、どちらの水をどちら側へ注いでも水の量は変わらないことなどから類推できる。

加法の逆の操作として減法を考えたときに、減法の結果として正の数から負の数が得られることがある。減法によって新しい数を作ったとき、a − b = c

ここで得られた数 c は減法の性質から、次のような関係が成り立つ。c + b = a

つまり、初めに a − b という引き算によって得られた新しい数 c は、b に加えた結果が a に等しくなる性質を持つ。具体的に 2 から 5 を引いた数を c としたとき、5 に c を足した数は 2 になる。2 は 5 より小さいので、これは加法の結果がより小さな数を与えることを示している。

上の式で a を 0 としたとき、c は b との和が 0 となる数である。この c を (−b) と書くことにする。(−b) の足し算は b の引き算と同じ結果を常に与える。したがって、正の数の減法は負の数の加法で置き換えられる。a − b = a + (−b)

さらに、スカラー量だけでなく、ベクトル、行列にも加法が定義されるようになるが、いずれも交換法則、結合法則を満たすものである。
ペアノによる定義「ペアノの公理」も参照

ジュゼッペ・ペアノは自然数同士の加法を以下のように形式的に定義した。[1] a , b ∈ N ; a + ( b + 1 ) = ( a + b ) + 1 {\displaystyle a,b\in \mathbb {N} ;a+(b+1)=(a+b)+1}

ただし、 a + 1 は a の後者として定義されている。後者関数 S を用いて表現すると以下のように書ける。 a ∈ N ; a + 1 = S ( a ) {\displaystyle a\in \mathbb {N} ;a+1=S(a)} a , b ∈ N ; a + S ( b ) = S ( a + b ) {\displaystyle a,b\in \mathbb {N} ;a+S(b)=S(a+b)}
正負の数の計算方法

2 数 a, b の符号と絶対値に注目すると、和 (a + b) は次のように計算できる。

2 数 a, b の和 (a + b) の計算結果符号|a| > |b||a| < |b||a| = |b|
a ≥ 0, b ≥ 0|a| + |b|
a < 0, b < 0−(|a| + |b|)
a ≥ 0, b < 0|a| − |b|−(|b| − |a|)0
a < 0, b ≥ 0−(|a| − |b|)|b| − |a|0

2 数の符号が同じ場合


a, b が共に正の数のとき

a の絶対値 |a| と b の絶対値 |b| を足し、正の符号を付ける。


a, b が共に負の数のとき

a の絶対値 |a| と b の絶対値 |b| を足し、負の符号を付ける。


2 数の符号が異なる場合


a の絶対値 |a| が b の絶対値 |b| より大きい場合

a が正の数のとき

b が負の数のとき

a の絶対値 |a| から b の絶対値 |b| を引き、正の符号を付ける。


a が負の数のとき

b が正の数のとき

a の絶対値 |a| から b の絶対値 |b| を引き、負の符号を付ける。



a の絶対値 |a| が b の絶対値 |b| より小さい場合

b が負の数のとき

a が正の数のとき

b の絶対値 |b| から a の絶対値 |a| を引き、負の符号を付ける。


b が正の数のとき

a が負の数のとき

b の絶対値 |b| から a の絶対値 |a| を引き、正の符号を付ける。



a, b の絶対値が等しい場合

和は 0 である。


出典^ ジュゼッペ・ペアノ (1889), Arithmetices principia: nova methodo, pp. 1-2, https://archive.org/details/arithmeticespri00peangoog 

関連項目

総和

正の数と負の数

空和

単位元

逆元

交換法則

結合法則

アーベル群

マグマ

表

話

編

歴
二項演算