別の表現として、逆温度 β の関数として表された以下の関数も完全な熱力学関数になっている。

Ψ ( β ) = − β F ( β ) = ln ⁡ Z ( β ) {\displaystyle \Psi (\beta )=-\beta F(\beta )=\ln Z(\beta )}

q ( β , α ) = − β J ( β , α / β ) = ln ⁡ Ξ ( β , α / β ) {\displaystyle q(\beta ,\alpha )=-\beta J(\beta ,\alpha /\beta )=\ln \Xi (\beta ,\alpha /\beta )}

Ψ をマシュー関数（英語版）、 q をクラマース関数（英語版）という。
分配関数の間の関係

熱力学関数どうしがルジャンドル変換で関係づけられていることに対応して、分配関数はラプラス変換を通じて結びついている[2]。状態密度 Ω(E, V, N)、分配関数 Z(β, V, N) および大分配関数 Ξ(β, V, μ) の間には Z ( β , V , N ) = ∫ 0 ∞ e − β E Ω ( E , V , N ) d E , Ξ ( β , V , μ ) = ∑ N = 0 ∞ e β μ N Z ( T , V , N ) {\displaystyle {\begin{aligned}Z(\beta ,V,N)&=\int _{0}^{\infty }e^{-\beta E}\Omega (E,V,N)\mathrm {d} E,\\\Xi (\beta ,V,\mu )&=\sum _{N=0}^{\infty }e^{\beta \mu N}Z(T,V,N)\end{aligned}}}

の関係がある。

また、等温定圧集団については分配関数 Z(β, V, N) から Z ( T , P , N ) := ∫ 0 ∞ Z ( T , V , N ) e − P V / k T d V {\displaystyle {\mathcal {Z}}(T,P,N):=\int _{0}^{\infty }Z(T,V,N)e^{-PV/kT}\mathrm {d} V}

で与えられるT-P分配関数を用いて、 G ( T , P , N ) = − k T ln ⁡ Z ( T , P , N ) {\displaystyle G(T,P,N)=-kT\ln {\mathcal {Z}}(T,P,N)}

でギブス自由エネルギーを表すことができる。
脚注^ W. グライナー（1999）
^ 鈴木彰; 藤田重次『統計熱力学の基礎』共立出版、2008年、179-180,184頁。.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}ISBN 978-4-320-03456-3。 

参考文献

W. グライナー、L. ナイゼ、 H. シュテッカー『熱力学・統計力学』伊藤伸泰、青木圭子（訳）、シュプリンガー・フェアラーク東京〈グライナー物理テキストシリーズ〉、1999年。ISBN 978-4431707851。 

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