は、多変数函数の微分に関する連鎖律により d M d t = ∂ M ∂ t + ∑ i = 1 n ∂ M ∂ p i d p i d t = ( ∂ ∂ t + ∑ i = 1 n d p i d t ∂ ∂ p i ) M {\displaystyle {{\mathit {dM}} \over {\mathit {dt}}}={\frac {\partial M}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial M}{\partial p_{i}}}{\frac {{\mathit {dp}}_{i}}{\mathit {dt}}}=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {{\mathit {dp}}_{i}}{\mathit {dt}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\right)M}

と書ける。例えば f(x(t), y(t)) の全微分商は d f d t = ∂ f ∂ x d x d t + ∂ f ∂ y d y d t {\displaystyle {\frac {\mathit {df}}{\mathit {dt}}}={\partial f \over \partial x}{{\mathit {dx}} \over {\mathit {dt}}}+{\partial f \over \partial y}{{\mathit {dy}} \over {\mathit {dt}}}}

となる。ここに ∂f⁄∂t の項が現れないのは f が独立変数 t に直接依存していないことによる。
全微分可能性

Rn の開集合 U と U の点 p に対し、写像 F: U → Rm が p において全微分可能あるいは単に微分可能であるとは、線型写像 L: Rn → Rm が存在して、 lim h → 0 ‖ F ( p + h ) − F ( p ) − L ( h ) ‖ ‖ h ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\|F(p+h)-F(p)-L(h)\|}{\|h\|}}=0}

を満たすことを言う。ここに、h は Rn のベクトル、各量を挟む二重縦棒 ‖ はそれぞれ Rn または Rm のベクトルのノルムである（Rn や Rm のノルムは任意のノルムが同値となるから、上記の定義はノルムの選び方に依らないことに注意）。

この線型写像 L は、存在するならば一意に定まる。これを F の p における全微分 (total derivative) または単に微分と呼び、DF(p), DFp, dFp, F'(p) などで表す。
参考文献^ Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw-Hill, third edition, 1984.


Konrad Konigsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8.

A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2

From thesaurus.maths.org ⇒total derivative[リンク切れ]

関連項目

函数の全微分: 函数の微分の多変数版の記述。

微分写像: 可微分多様体間の写像の全微分可能性について。

外部リンク

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https://web.archive.org/web/20081006073754/http://www.sv.vt.edu/classes/ESM4714/methods/df2D.html