これは力学系の測度論的エントロピーを構成する上で重要な役割を担う。
測度論的エントロピー

分割 Q のエントロピーは次で定義される[1][2]： H ( Q ) = − ∑ m = 1 k μ ( Q m ) log ⁡ μ ( Q m ) . {\displaystyle H(Q)=-\sum _{m=1}^{k}\mu (Q_{m})\log \mu (Q_{m}).}

すると、分割 Q = {Q1, ..., Qk} に関する力学系 ( X , B , T , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )} の測度論的エントロピーは、次で定義される： h μ ( T , Q ) = lim N → ∞ 1 N H ( ⋁ n = 0 N T − n Q ) . {\displaystyle h_{\mu }(T,Q)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}H\left(\bigvee _{n=0}^{N}T^{-n}Q\right).\,}

最後に、力学系 ( X , B , T , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}},T,\mu )} のコルモゴロフ＝シナイ（Kolmogorov-Sinai）あるいは計量（metric）あるいは測度論的エントロピー（measure-theoretic entropy）は、次で定義される： h μ ( T ) = sup Q h μ ( T , Q ) . {\displaystyle h_{\mu }(T)=\sup _{Q}h_{\mu }(T,Q).\,}

ここで上限はすべての有限個の可測な分割について取られる。1959年のヤコフ・シナイの定理では、上限は実際には生成素であるような分割について得られることが示された。したがって例えば、ほとんど全ての実数は一意な二進展開を持つため、ベルヌーイ過程のエントロピーは log 2 である。すなわち、単位区間を区間 [0, 1/2) と [1/2, 1] に区分することが出来る。すべての実数 x は 1/2 より小さいかそうでないかのいずれかであるので、2nx の小数部分についても同様のことが成り立つ。

空間 X がコンパクトで位相を備えるものであるか、計量空間であるなら、位相的エントロピーも同様に定義することが出来る。
関連項目

クリロフ＝ボゴリューボフの定理：不変測度の存在に関する定理

ポアンカレの回帰定理

参考文献^ Ya.G. Sinai, (1959) "On the Notion of Entropy of a Dynamical System", Doklady of Russian Academy of Sciences 124, pp. 768?771.
^ Ya. G. Sinai, (2007) " ⇒Metric Entropy of Dynamical System"


Michael S. Keane, "Ergodic theory and subshifts of finite type", (1991), appearing as Chapter 2 in Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces, Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X (Provides expository introduction, with exercises, and extensive references.)


Lai-Sang Young, "Entropy in Dynamical Systems" ( ⇒pdf; ⇒ps), appearing as Chapter 16 in Entropy, Andreas Greven, Gerhard Keller, and Gerald Warnecke, eds. Princeton University Press, Princeton, NJ (2003). ISBN 0-691-11338-6

例

T. Schurmann and I. Hoffmann, The entropy of strange billiards inside n-simplexes. J. Phys. A28, page 5033ff, 1995. ⇒PDF-Dokument