上述の定義に登場する3つの条件の意味するところは下記のとおりである：
空集合と全体集合は開集合である。

2つの開集合の共通部分は開集合である。(よって有限個の開集合の共通部分は開集合となるが、無限個の共通部分は開集合とは限らない)

任意の個数(有限でも無限でもよい)の開集合の和集合は開集合である。

本節では、これらの性質を天下り的に与えるにとどめ、後の章で距離空間で具体的な位相に関し、この定義について論ずる。

開集合系 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} を一つ定める事で、集合 X が位相空間になるので、 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} をX 上の位相(構造)と呼ぶ。

紛れがなければ開集合系 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} を省略し、X の事を位相空間 と呼ぶ。

また位相空間X の元を点と呼ぶ。

なお、集合算に関する空積および空和はそれぞれ全体集合と空集合になるので、 O ≠ ∅ {\displaystyle {\mathcal {O}}\neq \emptyset } を仮定しておけば、上述の定義における条件1を課さなくてもよい。
閉集合を使った特徴づけ

開集合のX における補集合の事を閉集合と呼び、閉集合全体の集合 F = { F ⊂ X ∣ F c ∈ O } {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{F\subset X\mid F^{c}\in {\mathcal {O}}\}}

の事を位相空間X の閉集合系と呼ぶ。

開集合が直観的には「縁を含まない」、「開いた」集合だったのに対し、その補集合である閉集合は直観的には「縁を含んだ」、「閉じた」集合である。本項ではこれまで、開集合系を使って位相空間を定義し、開集合の補集合として閉集合を定義したが、閉集合系 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} を使って下記のように位相空間を定義する事もできる。この場合、開集合は閉集合の補集合として定義する。

定義 (閉集合系による位相空間の定義) ― Xを集合とし、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} をXのべき集合 P ( X ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}(X)} の部分集合とする。

F {\displaystyle {\mathcal {F}}} が以下の性質を満たすとき、組 ( X , F ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}})} を X を台集合とし F {\displaystyle {\mathcal {F}}} を閉集合系とする位相空間と呼び、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} の元を X の閉集合と呼ぶ。
∅ , X ∈ F {\displaystyle \emptyset ,X\in {\mathcal {F}}}

∀ F 1 , ∀ F 2 ∈ F     :     F 1 ∪ F 2 ∈ F {\displaystyle \forall F_{1},\forall F_{2}\in {\mathcal {F}}~~:~~F_{1}\cup F_{2}\in {\mathcal {F}}}

∀ { F λ } λ ∈ Λ ⊂ F     :     ⋂ λ ∈ Λ F λ ∈ F {\displaystyle \forall \{F_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\subset {\mathcal {F}}~~:~~\bigcap _{\lambda \in \Lambda }F_{\lambda }\in {\mathcal {F}}}

閉集合系による位相空間の定義における3つの条件は、開集合系による位相空間の定義における3つの条件にド・モルガンの法則を適用することにより得られる。

なお、X の開集合でも閉集合でもあるような部分集合は X の開かつ閉集合と呼ばれる（定義から明らかに ∅ {\displaystyle \emptyset } および X は必ず開かつ閉である）。X には、開でも閉でもないような部分集合が存在しうる。
その他の特徴づけ「位相の特徴付け」も参照
位相同型

( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} 、 ( Y , O Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})} を２つの位相空間とする。

定義 (位相同型) ― ある全単射 f   :   X → Y {\displaystyle f~:~X\to Y}

が存在して、 O ∈ O X ⟺ f ( O ) ∈ O Y {\displaystyle O\in {\mathcal {O}}_{X}\iff f(O)\in {\mathcal {O}}_{Y}}

を満たすとき、 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} と ( Y , O Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})} は位相同型であるという。

位相空間論とは、位相同型で不変な性質（すなわち、 ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} がある性質を満たせば、それと位相同型な ( Y , O Y ) {\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})} もその性質を満たすような性質）を議論する分野である。
距離空間の位相構造

すでに述べたように位相空間の概念を定義する主な動機の一つは、距離空間上で定義される諸概念をより一般の空間でも定義する事である。この意味において距離空間は最も基本的な位相空間の例であるので、本節では距離構造が位相構造を定める事を見る：

定理・定義 (距離から定まる位相) ― (X ,d )を距離空間とし、実数 ε > 0 と x ∈ X に対し、xのε-近傍（ε-neighborhood） B ε ( x ) {\displaystyle B_{\varepsilon }(x)} を B ε ( x ) := { y ∈ X ∣ d ( x , y ) < ε } {\displaystyle B_{\varepsilon }(x):=\{y\in X\mid d(x,y)<\varepsilon \}}

と定義するとき、 O d = { O ⊂ X ∣ ∀ x ∈ O ∃ ε > 0     :     B ε ( x ) ⊂ O } {\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}=\{O\subset X\mid \forall x\in O\exists \varepsilon >0~~:~~B_{\varepsilon }(x)\subset O\}}

は開集合系の公理を満たす。 O d {\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}} を距離 d により定まる X の開集合系、もしくはd により定まる X の位相構造といい、 ( X , O d ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{d})} を(X ,d )により定まる位相空間という。

xのε-近傍の事を、ε-球（ε-ball）、ε-開球（ε-open ball）、あるいは単に開球（open ball）ともいう。

上記のように定義した O d {\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}} が位相の定義を満たす事を示すために、まず開集合を別の形で書き換える：

命題 (距離から定まる開集合の特徴づけ) ― 距離空間(X ,d )が定める位相を O d {\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}} とし、OをXの部分集合とする。このとき、以下の３条件は同値である：
Oは O d {\displaystyle {\mathcal {O}}_{d}} の開集合である

任意のx ∈ Oに対し、ある ε x > 0 {\displaystyle \varepsilon _{x}>0} が存在し、 O = ⋃ x ∈ O B ε x ( x ) {\displaystyle O=\bigcup _{x\in O}B_{\varepsilon _{x}}(x)} が成立する。

Oは（有限または無限個の）開球の和集合として書ける。すなわち族 { B ε λ ( x λ ) } λ ∈ Λ ⊂ X {\displaystyle \{B_{\varepsilon _{\lambda }}(x_{\lambda })\}_{\lambda \in \Lambda }\subset X} が存在し、 O = ⋃ x λ ∈ Λ B ε λ ( x λ ) {\displaystyle O=\bigcup _{x_{\lambda }\in \Lambda }B_{\varepsilon _{\lambda }}(x_{\lambda })} が成立する。