多面体の頂点、辺、面の数を各々 n0, n1, n2 とおくと、これらが n0 − n1 + n2 = 2 の関係にあるとするオイラーの定理は、18 世紀当時の解析学、代数学を中心とする数学の流れにおいて孤立した結果であった。19 世紀にガウスは絡み目数を線積分により表示する公式を与え、また後半紀にリーマンが現在リーマン面と呼ばれる概念を提出し、ロッホは曲面の上の 2 つの偏微分方程式の解の自由度の差を曲面の種数を含む数と同定するリーマン・ロッホの定理をまとめた。これら前駆的研究に対して、トポロジーがひとつの分野として確立する契機となったのは 1900 年前後のポアンカレの一連の研究による[6]。

ポアンカレは 1895 年の論文「Analysis Situs（英語版）」の中でホモロジーの概念を導入した。これはホモロジー論へと発展した。同じ論文の中でポアンカレは基本群の研究を行った。これはホモトピー論へと発展した。これらはいまや代数的位相幾何学の大きな柱であると考えられている。

現代的な位相幾何学は 19 世紀に後半に確立された集合論を大きな基盤として成り立っている。集合論の祖のひとりであるゲオルク・カントールはフーリエ級数の研究に際してユークリッド空間内の点集合について考察している。

カントール、ボルテラ、アルツェラ（英語版）、アダマール、アスコリ（英語版）、らの研究を取りまとめる形で（今日では一般的な位相空間の特別の場合であると考えられている）距離空間の概念を確立したのはフレシェで、1906 年のことである。「位相空間」という用語を導入したのはハウスドルフで、1914 年に今日ではハウスドルフ空間と呼ばれる概念を定義するために用いられたものであるが、その一般化として現代的な意味での位相空間という概念が確立されるのは 1922 年、クラトフスキーの手による。
主要な概念
集合上の位相詳細は「位相空間」を参照

位相（トポロジー[注釈 1]）は、大まかに言えば集合の元が互いにどの程度空間的に関連があるのかを示す、この分野の中心的な数学的構造である。一つの集合には複数の異なる位相が入り得る。例えば、実数直線、複素数平面、およびカントール集合は異なる位相を持つ同一の集合と見ることができる。

厳密に言えば、集合 X に対し、X の部分集合族 τ が X の位相であるとは、
空集合 ∅ および全体集合 X は τ の元

τ の元の任意の合併は τ の元

τ の元の任意の有限交叉は τ の元

の三条件をすべて満たすときに言う。τ が X 上の位相であるとき、対 (X, τ) は位相空間と呼ばれる。集合 X に特定の位相 τ が備わっていることを Xτ と書き表すこともある。

τ の元は X の開集合と呼ばれる。X の部分集合が閉であるとは、その補集合が τ の元となる（つまり補集合が開集合となる）ことである。X の部分集合は、開でも閉でもある（開かつ閉集合）こともあれば、そのどちらでもないこともある。空集合と X 自身は常に開かつ閉である。点 x を含む開集合は x の（開）近傍と呼ばれる。
連続写像と同相写像詳細は「連続写像」および「同相」を参照

位相空間から別の位相空間への写像が連続であるとは、任意の開集合の逆像が開であるときに言う。これは、実数を実数へ写す写像（ただし実数直線の位相は通常の位相を入れる）の場合には、初等解析学における連続函数の定義と同値である。連続写像が単射かつ全射であって、その逆写像もまた連続となるならば、その写像は同相写像（あるいは単に同相）と呼ばれ、また写像の定義域はその像と同相であると言う。