二項定理は三項以上の和の冪展開に拡張することができる： ( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) n = ∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , k 2 , … , k m ) x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m k m {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}

ここで和は、非負整数列 k1, …, km の総和が n であるもの全体に亙って取るから、右辺の展開式は項の次数が何れも n次である斉次多項式である。展開式の係数 (n
k1, …, km) は多項係数と呼ばれ、 ( n k 1 , k 2 , … , k m ) = n ! k 1 ! k 2 ! ⋯ k m ! {\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}

となる。組合せ論的には、多項係数 (n
k1, …, km) は、n元-集合を各位数が k1, …, km となる、互いに素な部分集合へ分割する場合の数となる。
多重二項定理

二項式の総乗といった、より次元の高いものを取り扱う場合にも二項定理はしばしば有用である。二項定理により等式 ( x 1 + y 1 ) n 1 ⋯ ( x d + y d ) n d = ∑ k 1 = 0 n 1 ⋯ ∑ k d = 0 n d ( n 1 k 1 ) x 1 k 1 y 1 n 1 − k 1 ⋯ ( n d k d ) x d k d y d n d − k d {\displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}=0}^{n_{1}}\cdots \sum \limits _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\dbinom {n_{1}}{k_{1}}}\,{x_{1}}^{k_{1}}{y_{1}}^{n_{1}-k_{1}}\;\cdots \;{\dbinom {n_{d}}{k_{d}}}\,{x_{d}}^{k_{d}}{y_{d}}^{n_{d}-k_{d}}}

が成り立つ。この式は多重指数を用いれば ( x + y ) α = ∑ ν ≤ α ( α ν ) x ν y α − ν {\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\textstyle \sum \limits _{\nu \leq \alpha }{\dbinom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }}

とより簡潔に表される。
応用
三角函数の多倍角公式

複素数に対する二項定理とド・モアブルの定理を合わせれば、正弦函数、余弦函数の多倍角公式が得られる。ド・モアブルの公式によれば cos ⁡ ( n x ) + i sin ⁡ ( n x ) = ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n {\displaystyle \cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos x+i\sin x)^{n}}

が成り立つから、二項定理を用いて右辺を展開して実部と虚部を比較すれば cos(nx) および sin(nx) に対する公式を得る。

n = 2 の場合は、 ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) 2 = cos 2 ⁡ x + 2 i cos ⁡ x sin ⁡ x − sin 2 ⁡ x {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x}

から倍角公式 cos ⁡ ( 2 x ) = cos 2 ⁡ x − sin 2 ⁡ x , sin ⁡ ( 2 x ) = 2 cos ⁡ x sin ⁡ x {\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x,\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x}

を得る。

n = 3 の場合は、 ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) 3 = cos 3 ⁡ x + 3 i cos 2 ⁡ x sin ⁡ x − 3 cos ⁡ x sin 2 ⁡ x − i sin 3 ⁡ x {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x}

から三倍角公式 cos ⁡ ( 3 x ) = cos 3 ⁡ x − 3 cos ⁡ x sin 2 ⁡ x , sin ⁡ ( 3 x ) = 3 cos 2 ⁡ x sin ⁡ x − sin 3 ⁡ x {\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x,\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x}

を得る。

一般に cos ⁡ ( n x ) = ∑ k : even ( − 1 ) k 2 ( n k ) cos n − k ⁡ x sin k ⁡ x , sin ⁡ ( n x ) = ∑ k : odd ( − 1 ) k − 1 2 ( n k ) cos n − k ⁡ x sin k ⁡ x {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(nx)&=\textstyle \sum \limits _{k{\text{: even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{\dbinom {n}{k}}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x,\\\sin(nx)&=\textstyle \sum \limits _{k{\text{: odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{\dbinom {n}{k}}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x\end{aligned}}}