アイザック・ニュートンは有理数冪に対して成り立つ一般化された二項定理を示したと考えられている[9][8]（二項級数を参照）。
定理の主張

定理によれば、x + y の冪を展開すると、冪指数 n を自然数として、 ( x + y ) n = ( n 0 ) x n + ( n 1 ) x n − 1 y 1 + ( n 2 ) x n − 2 y 2 + ⋯ + ( n n − 1 ) x 1 y n − 1 + ( n n ) y n {\displaystyle (x+y)^{n}={\binom {n}{0}}x^{n}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}y^{1}+{\binom {n}{2}}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{\binom {n}{n-1}}x^{1}y^{n-1}+{\binom {n}{n}}y^{n}} (1)

となる。この展開した式の係数 (n
k) を二項係数と呼び、正整数となる。この等式はしばしば二項公式（ドイツ語版）あるいは二項（恒）等式とも呼ばれる。

x0 = y0 :=1[注 1]と定義すれば、全ての項を総和記号 Σ で一律に表示できる： ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k = ∑ k = 0 n ( n k ) x k y n − k {\displaystyle (x+y)^{n}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{k}y^{n-k}} (2)

最後の等号は、x, y についての対称性と、二項係数の列の対称性により得られる。

二項公式を簡略化した一変数版もよく知られる： ( 1 + x ) n = ( n 0 ) + ( n 1 ) x 1 + ( n 2 ) x 2 + ⋯ + ( n n − 1 ) x n − 1 + ( n n ) x n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k . {\displaystyle (1+x)^{n}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}x^{1}+{\binom {n}{2}}x^{2}+\cdots +{\binom {n}{n-1}}x^{n-1}+{\binom {n}{n}}x^{n}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{k}.}

逆に、二項定理の一変数版からもとの二項定理を、指数法則などの基本的な計算法則により導くことができる[10]。
注


(1) は、可換環において成り立つ。

(2) は、可換環がさらに単位的環があるとき成り立つ。このとき、項 (n
k) xn−k yk は環の元の積 xn−kyk の整数 (n
k) によるスカラー倍である。つまりここでは環を Z-加群と見做している。

必ずしも可換でない一般の単位的環においても、x と y が可換である（つまり xy = yx を満たす）ならば、二項定理は成り立つ。

定理の主張を、多項式列 {1, x, x2, …} は二項型であると述べることもできる。
証明
帰納的証明

数学的帰納法とパスカルの法則（英語版）により、簡単に証明できる。
n = 0
( x + y ) 0 = 1 = ( 0 0 ) x 0 y 0 {\displaystyle (x+y)^{0}=1={\binom {0}{0}}x^{0}y^{0}}

により成り立つ。

以下、非負整数 n に関する帰納法で示す。

ある n について成り立つと仮定する。 ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k {\displaystyle (x+y)^{n}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}}

より、 ( x + y ) n + 1 = ( x + y ) ( x + y ) n = ( x + y )   ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k = x ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k + y ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k = ∑ k = 0 n ( n k ) x ( n + 1 ) − k y k + ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k + 1 = ∑ k = 0 n + 1 ( n k ) x ( n + 1 ) − k y k + ∑ k = 0 n + 1 ( n k − 1 ) x ( n + 1 ) − k y k ( ∵ ( n n + 1 ) = ( n − 1 ) = 0 ) = ∑ k = 0 n + 1 [ ( n k ) + ( n k − 1 ) ] x ( n + 1 ) − k y k {\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{n+1}&=(x+y)(x+y)^{n}\\&=(x+y)~\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\\&=x\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}+y\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\\&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{(n+1)-k}y^{k}+\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k+1}\\&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n+1}{\dbinom {n}{k}}x^{(n+1)-k}y^{k}+\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n+1}{\dbinom {n}{k-1}}x^{(n+1)-k}y^{k}\\\left(\because {\binom {n}{n+1}}={\binom {n}{-1}}=0\right)\\&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n+1}\left\lbrack {\dbinom {n}{k}}+{\dbinom {n}{k-1}}\right\rbrack x^{(n+1)-k}y^{k}\end{aligned}}}