n個の (x + y) の積を一度に展開し切ることにより、より直接的に、直観的な証明ができる[12]。 ( x + y ) n = ( x + y ) ( x + y ) ⋯ ( x + y ) ⏟ n factors {\displaystyle (x+y)^{n}=\underbrace {(x+y)(x+y)\cdots (x+y)} _{n{\text{ factors}}}}
一度に展開すると、それぞれの (x + y) から x または y を取った文字 n個の総乗の総和となる。
これらの積のうち、並び替えて xn−kyk (k = 0, 1, …, n) になるものは、(n − k)個の x、k個の y を並べる場合の数だけあるから、二項係数 (n
k)、すなわち xn−kyk の係数は nCk となる。
注
n個の積を一度に展開し切る方法により、次のことも分かる：等式 ( X + Y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) X n − k Y k {\displaystyle (X+Y)^{n}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}X^{n-k}Y^{k}} において n個の Y を区別して Y1, Y2, …, Yn と考えた場合、展開式は基本対称式 σk を用いて ∏ i = 1 n ( X + Y i ) = ∑ k = 0 n σ k ( Y 1 , … , Y n ) X n − k {\displaystyle \textstyle \prod \limits _{i=1}^{n}(X+Y_{i})=\sum \limits _{k=0}^{n}\sigma _{k}(Y_{1},\ldots ,Y_{n})X^{n-k}} と書ける。
一般化
ニュートンの一般化された二項定理詳細は「二項級数」を参照
1665年ごろアイザック・ニュートンは従来の二項定理を一般化して非整数冪に対する公式（ニュートンの一般二項定理）を得た[13]。この一般化において、有限和は級数になる。また、二項係数 (n で定義する。右辺の (•)k はポッホハマー記号で、ここでは下方階乗を表す。このとき実数 x, y が |x| > |y| を満たすとき[注 2]、任意の複素数 r に対して ( x + y ) r = ∑ k = 0 ∞ ( r k ) x r − k y k = x r + r x r − 1 y + r ( r − 1 ) 2 ! x r − 2 y 2 + r ( r − 1 ) ( r − 2 ) 3 ! x r − 3 y 3 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{\dbinom {r}{k}}x^{r-k}y^{k}\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\dotsb \end{aligned}}} (2) が成り立つ。r が非負整数のとき、k > r に対する二項係数は零であるから等式 (2) は等式 (1) に特殊化され、非零項は高々 r + 1個である。r がそれ以外の値のときは級数 (2) は（少なくとも x, y が非零のとき）無数の非零項を持つ。 これは級数を扱っていてそれを一般化超幾何函数
k) の上の添字 n は自然数とは限らないから、二項係数を階乗を用いて表すこともできない。一般化された二項係数を任意の数 r に対して ( r k ) = r ( r − 1 ) ⋯ ( r − k + 1 ) k ! = ( r ) k k ! {\displaystyle {\binom {r}{k}}={\frac {r\,(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {(r)_{k}}{k!}}} (1)
r = −s と置けば有用な等式 1 ( 1 − x ) s = ∑ k = 0 ∞ ( s + k − 1 k ) x k ≡ ∑ k = 0 ∞ ( s + k − 1 s − 1 ) x k {\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{s}}}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{\dbinom {s+k-1}{k}}x^{k}\equiv \textstyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{\dbinom {s+k-1}{s-1}}x^{k}}
を得る。これをさらに s = 1 と特殊化すれば等比級数を得る。
注
式 (2) は x, y が複素数の場合にも一般化することができる。この場合、|x| > |y|[注 2]に加えて、x を中心とする半径 |x| の開円板上で定義されたlogの正則な枝を用いて x + y および x の冪を定義しなければならない。式 (2) は x, y がバナッハ環の元であるときも、xy = yx かつ x が可逆で ‖ y/x ‖ < 1 である限り成り立つ。
多項定理詳細は「多項定理」および「多項係数」を参照
二項定理は三項以上の和の冪展開に拡張することができる： ( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) n = ∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , k 2 , … , k m ) x 1 k 1 x 2 k 2 ⋯ x m k m {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\textstyle \sum \limits _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\dbinom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}{x_{1}}^{k_{1}}{x_{2}}^{k_{2}}\cdots {x_{m}}^{k_{m}}}