二項展開 - 暇つぶしWikipedia

二項展開

より、 ( x + y ) n + 1 = ( x + y ) ( x + y ) n = ( x + y ) ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k = x ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k + y ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k = ∑ k = 0 n ( n k ) x ( n + 1 ) − k y k + ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k + 1 = ∑ k = 0 n + 1 ( n k ) x ( n + 1 ) − k y k + ∑ k = 0 n + 1 ( n k − 1 ) x ( n + 1 ) − k y k ( ∵ ( n n + 1 ) = ( n − 1 ) = 0 ) = ∑ k = 0 n + 1 [ ( n k ) + ( n k − 1 ) ] x ( n + 1 ) − k y k {\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{n+1}&=(x+y)(x+y)^{n}\\&=(x+y)~\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\\&=x\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}+y\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\\&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{(n+1)-k}y^{k}+\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k+1}\\&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n+1}{\dbinom {n}{k}}x^{(n+1)-k}y^{k}+\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n+1}{\dbinom {n}{k-1}}x^{(n+1)-k}y^{k}\\\left(\because {\binom {n}{n+1}}={\binom {n}{-1}}=0\right)\\&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n+1}\left\lbrack {\dbinom {n}{k}}+{\dbinom {n}{k-1}}\right\rbrack x^{(n+1)-k}y^{k}\end{aligned}}}

となり、パスカルの法則を用いて ( x + y ) n + 1 = ∑ k = 0 n + 1 ( n + 1 k ) x ( n + 1 ) − k y k {\displaystyle (x+y)^{n+1}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n+1}{\dbinom {n+1}{k}}~x^{(n+1)-k}y^{k}}

を得る。これは所期の式である [11]。
組合せ論的証明

n個の (x + y) の積を一度に展開し切ることにより、より直接的に、直観的な証明ができる [12]。 ( x + y ) n = ( x + y ) ( x + y ) ⋯ ( x + y ) ⏟ n factors {\displaystyle (x+y)^{n}=\underbrace {(x+y)(x+y)\cdots (x+y)} _{n{\text{ factors}}}}

一度に展開すると、それぞれの (x + y) から x または y を取った文字 n個の総乗の総和となる。

これらの積のうち、並び替えて xn−kyk (k = 0, 1, …, n) になるものは、(n − k)個の x、k個の y を並べる場合の数だけあるから、二項係数 (n

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