逆に、二項定理の一変数版からもとの二項定理を、指数法則などの基本的な計算法則により導くことができる[10]。
注


(1) は、可換環において成り立つ。

(2) は、可換環がさらに単位的環があるとき成り立つ。このとき、項 (n
k) xn−k yk は環の元の積 xn−kyk の整数 (n
k) によるスカラー倍である。つまりここでは環を Z-加群と見做している。

必ずしも可換でない一般の単位的環においても、x と y が可換である（つまり xy = yx を満たす）ならば、二項定理は成り立つ。

定理の主張を、多項式列 {1, x, x2, …} は二項型であると述べることもできる。
証明
帰納的証明

数学的帰納法とパスカルの法則（英語版）により、簡単に証明できる。
n = 0
( x + y ) 0 = 1 = ( 0 0 ) x 0 y 0 {\displaystyle (x+y)^{0}=1={\binom {0}{0}}x^{0}y^{0}}

により成り立つ。

以下、非負整数 n に関する帰納法で示す。

ある n について成り立つと仮定する。 ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k {\displaystyle (x+y)^{n}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}}

より、 ( x + y ) n + 1 = ( x + y ) ( x + y ) n = ( x + y )   ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k = x ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k + y ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k = ∑ k = 0 n ( n k ) x ( n + 1 ) − k y k + ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k + 1 = ∑ k = 0 n + 1 ( n k ) x ( n + 1 ) − k y k + ∑ k = 0 n + 1 ( n k − 1 ) x ( n + 1 ) − k y k ( ∵ ( n n + 1 ) = ( n − 1 ) = 0 ) = ∑ k = 0 n + 1 [ ( n k ) + ( n k − 1 ) ] x ( n + 1 ) − k y k {\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{n+1}&=(x+y)(x+y)^{n}\\&=(x+y)~\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\\&=x\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}+y\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\\&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{(n+1)-k}y^{k}+\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k+1}\\&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n+1}{\dbinom {n}{k}}x^{(n+1)-k}y^{k}+\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n+1}{\dbinom {n}{k-1}}x^{(n+1)-k}y^{k}\\\left(\because {\binom {n}{n+1}}={\binom {n}{-1}}=0\right)\\&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n+1}\left\lbrack {\dbinom {n}{k}}+{\dbinom {n}{k-1}}\right\rbrack x^{(n+1)-k}y^{k}\end{aligned}}}