二項展開 - 暇つぶしWikipedia

二項展開

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[注 1]
と定義すれば、全ての項を総和記号 Σ で一律に表示できる： ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k = ∑ k = 0 n ( n k ) x k y n − k {\displaystyle (x+y)^{n}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{k}y^{n-k}} (2)

[10]
(1)
可換環
 (2)
単位的環
 加群
 多項式列
 二項型
 証明

 帰納的証明

[11]
組合せ論的証明

[12]
総乗
 対称式
 一般化

 二項級数
 アイザック・ニュートン
 [13]
級数
一般化された二項係数を任意の数 r に対して ( r k ) = r ( r − 1 ) ⋯ ( r − k + 1 ) k ! = ( r ) k k ! {\displaystyle {\binom {r}{k}}={\frac {r\,(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {(r)_{k}}{k!}}} (1)

ポッホハマー記号
 [注 2]
複素数
r に対して ( x + y ) r = ∑ k = 0 ∞ ( r k ) x r − k y k = x r + r x r − 1 y + r ( r − 1 ) 2 ! x r − 2 y 2 + r ( r − 1 ) ( r − 2 ) 3 ! x r − 3 y 3 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{\dbinom {r}{k}}x^{r-k}y^{k}\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\dotsb \end{aligned}}} (2)

2
1
2
等比級数
 2
[注 2]
log
正則
 2
バナッハ環
 多項定理
 多項係数
 斉次多項式
 互いに素
 分割
 多重二項定理

多重指数
 応用

 三角函数の多倍角公式

複素数
 ド・モアブルの定理
 ネイピア数の級数表示

ネイピア数
 単調収束定理
 冪函数の微分

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
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