が成り立つ。この式は多重指数を用いれば ( x + y ) α = ∑ ν ≤ α ( α ν ) x ν y α − ν {\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\textstyle \sum \limits _{\nu \leq \alpha }{\dbinom {\alpha }{\nu }}\,x^{\nu }y^{\alpha -\nu }}
とより簡潔に表される。 複素数に対する二項定理とド・モアブルの定理を合わせれば、正弦函数、余弦函数の多倍角公式が得られる。ド・モアブルの公式によれば cos ( n x ) + i sin ( n x ) = ( cos x + i sin x ) n {\displaystyle \cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos x+i\sin x)^{n}} が成り立つから、二項定理を用いて右辺を展開して実部と虚部を比較すれば cos(nx) および sin(nx) に対する公式を得る。 n = 2 の場合は、 ( cos x + i sin x ) 2 = cos 2 x + 2 i cos x sin x − sin 2 x {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x} から倍角公式 cos ( 2 x ) = cos 2 x − sin 2 x , sin ( 2 x ) = 2 cos x sin x {\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x,\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x} を得る。 n = 3 の場合は、 ( cos x + i sin x ) 3 = cos 3 x + 3 i cos 2 x sin x − 3 cos x sin 2 x − i sin 3 x {\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x} から三倍角公式 cos ( 3 x ) = cos 3 x − 3 cos x sin 2 x , sin ( 3 x ) = 3 cos 2 x sin x − sin 3 x {\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x,\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x} を得る。 一般に cos ( n x ) = ∑ k : even ( − 1 ) k 2 ( n k ) cos n − k x sin k x , sin ( n x ) = ∑ k : odd ( − 1 ) k − 1 2 ( n k ) cos n − k x sin k x {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(nx)&=\textstyle \sum \limits _{k{\text{: even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{\dbinom {n}{k}}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x,\\\sin(nx)&=\textstyle \sum \limits _{k{\text{: odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{\dbinom {n}{k}}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x\end{aligned}}}
応用
三角函数の多倍角公式