は t に関する有理係数多項式である。この意味において、t には任意の実数あるいは複素数を代入することができ、それによって二項係数の定義を一般化するとき、そのような「一般化された二項係数」はニュートンの一般化二項定理に現れる。

各 k に対し、多項式 (t
k) は p⁡(0) = p⁡(1) = … = p⁡(k − 1) = 0 かつ p⁡(k) = 1 を満たす唯一の k次多項式 p(t) として特徴づけることができる。

この多項式の係数は第一種スターリング数を用いて ( t k ) = ∑ i = 0 k [ k i ] t i k ! {\displaystyle {\binom {t}{k}}=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{k}\displaystyle \left[{k \atop i}\right]{\frac {t^{i}}{k!}}}

と表すことができる。この導函数は対数微分法により d d t ( t k ) = ( t k ) ∑ i = 0 k − 1 1 t − i {\displaystyle {\frac {d}{\mathit {dt}}}{\binom {t}{k}}={\binom {t}{k}}\textstyle \sum \limits _{i=0}^{k-1}{\dfrac {1}{t-i}}}

と計算できる。
多項式の空間の基底

標数 0 の任意の体（すなわち、有理数体 Q を含む体）上で、次数が高々 d の任意の多項式 p⁡(t) は二項係数の線型結合 p ( t ) = ∑ k = 0 d a k ( t k ) {\displaystyle p(t)=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{d}a_{k}{\dbinom {t}{k}}}

として一意に書ける。このときの係数 ak は数列 p⁡(0), p⁡(1), …, p⁡(k) の第 k-階差で与えられ、明示的に書けば a k = ∑ i = 0 k ( − 1 ) k − i ( k i ) p ( i ) {\displaystyle a_{k}=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\dbinom {k}{i}}p(i)} (4)

で決まる[注 2]。
整数値多項式詳細は「整数値多項式（英語版）」を参照

各二項係数多項式 (t
k) は整数値（整数を代入したとき必ず整数を返す）である（これは例えばパスカルの等式（英語版）を用いて k に関する帰納法で示せる）。従って、二項係数多項式の任意の整係数線型結合もまた整数値多項式になる。逆に等式 (4) により任意の整数値多項式がこれら二項係数多項式の正係数線型結合となることが示せる。より一般に標数 0 の体の任意の部分環 R に対し、K[t] に属する多項式が任意の整数において R に値をとるための必要十分条件はそれが二項係数多項式の R-係数線型結合となっていることである。
二項係数に関する等式

階乗表示を用いれば近くにある二項係数の関係を容易に知ることができる。例えば k を正整数、n は任意として ( n k ) = n k ( n − 1 k − 1 ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}} (5)

が成り立ち、また少しの計算で ( n − 1 k ) − ( n − 1 k − 1 ) = n − 2 k n ( n k ) {\displaystyle {\binom {n-1}{k}}-{\binom {n-1}{k-1}}={\frac {n-2k}{n}}{\binom {n}{k}}}