n が大きく、k が n に対して十分小さいとき ( n k ) = n ( n − 1 ) … ( n − k + 1 ) k ! ≈ ( n − k / 2 ) k k k e − k 2 π k = ( n / k − 0.5 ) k e k 2 π k {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\dots (n-k+1)}{k!}}\approx {\frac {(n-k/2)^{k}}{k^{k}e^{-k}{\sqrt {2\pi k}}}}={\frac {(n/k-0.5)^{k}e^{k}}{\sqrt {2\pi k}}}} と書くことができるので、 log ⁡ ( n k ) ≈ k ln ⁡ ( n k − 0.5 ) + k − 0.5 ln ⁡ ( 2 π k ) {\displaystyle \log {\binom {n}{k}}\approx k\ln({\frac {n}{k}}-0.5)+k-0.5\ln(2\pi k)}

を得る。より精度を望むならば、ln⁡(n(n − 1)…(n − k + 1)) を積分で近似して log ⁡ ( n k ) ≈ ( n + 0.5 ) ln ⁡ n + 0.5 n − k + 0.5 + k ln ⁡ n − k + 0.5 k − 0.5 ln ⁡ ( 2 π k ) {\displaystyle \log {\binom {n}{k}}\approx (n+0.5)\ln {\frac {n+0.5}{n-k+0.5}}+k\ln {\frac {n-k+0.5}{k}}-0.5\ln(2\pi k)}

となる。n = 20 かつ k = 10 に対して log⁡(n
k) ≈ 12.127 およびこれら近似式からそれぞれ近似値 12.312 および 12.133 を得る。

ガンマ函数の無限積表示に基づく無限積 ( − 1 ) k ( z k ) = ( − z + k − 1 k ) = 1 Γ ( − z ) 1 ( k + 1 ) z + 1 ∏ j = k + 1 ( 1 + 1 j ) − z − 1 1 − z + 1 j {\displaystyle (-1)^{k}{\binom {z}{k}}={\binom {-z+k-1}{k}}={\frac {1}{\Gamma (-z)}}{\frac {1}{(k+1)^{z+1}}}\prod _{j=k+1}{\frac {(1+{\frac {1}{j}})^{-z-1}}{1-{\frac {z+1}{j}}}}}

から漸近公式 ( z k ) ≈ ( − 1 ) k Γ ( − z ) k z + 1 , ( z + k k ) = k z Γ ( z + 1 ) ( 1 + z ( z + 1 ) 2 k + O ( k − 2 ) ) {\displaystyle {\binom {z}{k}}\approx {\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (-z)k^{z+1}}},\quad {\binom {z+k}{k}}={\frac {k^{z}}{\Gamma (z+1)}}\left(1+{\frac {z(z+1)}{2k}}+{\mathcal {O}}\left(k^{-2}\right)\right)}

が k → ∞ で成り立つ。この漸近挙動は近似 ( z + k k ) ≈ e z ( H k − γ ) Γ ( z + 1 ) {\displaystyle {\binom {z+k}{k}}\approx {\frac {e^{z(H_{k}-\gamma )}}{\Gamma (z+1)}}}

にも表れている。ここに、Hk は k番目の調和数で、γ はオイラー–マスケローニ定数である。さらに、k → ∞ かつ適当な複素数 x に対して j/k → x なるとき、漸近公式 ( z + k j ) ( k j ) → ( 1 − j k ) − z , ( j j − k ) ( j − z j − k ) → ( j k ) z {\displaystyle {\frac {\binom {z+k}{j}}{\binom {k}{j}}}\to \left(1-{\frac {j}{k}}\right)^{-z},\quad {\frac {\binom {j}{j-k}}{\binom {j-z}{j-k}}}\to \left({\frac {j}{k}}\right)^{z}}