n次以下の多項式 P(x) に対して ∑ j = 0 n ( − 1 ) j ( n j ) P ( n − j ) = n ! a n {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\dbinom {n}{j}}P(n-j)=n!a_{n}} (11)

が成り立つ。ここで an は P(x) の n次係数である。等式 (11) はより一般に、複素数 m, d に対して ∑ j = 0 n ( − 1 ) j ( n j ) P ( m + ( n − j ) d ) = d n n ! a n {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}P(m+(n-j)d)=d^{n}n!a_{n}}

とできる。これは P⁡(x) の代わりに多項式 Q⁡(x) := P⁡(m + d⋅x) とするとき、Q⁡(x) がやはり n次以下の多項式であることと n次係数が dn⋅an であることに注意すれば、等式 (11) を適用して直ちに得られる。

級数 k − 1 k ∑ j = 0 ∞ 1 ( j + x k ) = 1 ( x − 1 k − 1 ) {\displaystyle {\frac {k-1}{k}}\textstyle \sum \limits _{j=0}^{\infty }{\dfrac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\dfrac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}}

は k ? 2 に対して収束する。この等式はドイツの戦車問題（英語版）を調べるのに利用できる。これを見るには k − 1 k ∑ j = 0 M 1 ( j + x k ) = 1 ( x − 1 k − 1 ) − 1 ( M + x k − 1 ) {\displaystyle {\frac {k-1}{k}}\textstyle \sum \limits _{j=0}^{M}{\dfrac {1}{\binom {j+x}{k}}}={\dfrac {1}{\binom {x-1}{k-1}}}-{\dfrac {1}{\binom {M+x}{k-1}}}}

が成り立つことを M に関する帰納法で示せばよい。

等式 (9) から ∑
n i (n
i)2 = n/2 (2n
n) および ∑
n i2 (n
i)2 = n2 (2n − 2
n − 1) が得られる。

Series multisection（英語版）により、0 ? t < s として t を境に s 刻みに取った二項係数の総和と s 項の閉じた形の式の和との間の等式 ( n t ) + ( n t + s ) + ( n t + 2 s ) + ⋯ = 1 s ∑ j = 0 s − 1 ( 2 cos ⁡ π j s ) n cos ⁡ π ( n − 2 t ) j s {\displaystyle {\binom {n}{t}}+{\binom {n}{t+s}}+{\binom {n}{t+2s}}+\dotsb ={\frac {1}{s}}\textstyle \sum \limits _{j=0}^{s-1}\left(2\cos {\dfrac {\pi j}{s}}\right)^{n}\cos {\dfrac {\pi (n-2t)j}{s}}}

が示せる。
組合せ論的に証明できる等式

二項係数を含む多くの等式が組合せ論的に（英語版）証明することができる。例えば n ? q なる非負整数に対して ∑ k = q n ( n k ) ( k q ) = 2 n − q ( n q ) {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=q}^{n}{\dbinom {n}{k}}{\dbinom {k}{q}}=2^{n-q}{\dbinom {n}{q}}}