および ∑ k = 0 n k 2 ( n k ) = ( n + n 2 ) 2 n − 2 {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}k^{2}{\dbinom {n}{k}}=(n+n^{2})2^{n-2}}
は等式 (2) を x に関して（後者は2回）微分して x = 1 と置けば得られる。
朱ファンデルモンドの等式
（英語版） ∑ j = 0 k ( m j ) ( n − m k − j ) = ( n k ) {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{j=0}^{k}{\dbinom {m}{j}}{\dbinom {n-m}{k-j}}={\dbinom {n}{k}}} (7)は任意の複素数 m, n と任意の非負整数 k に対して成立する。これは (1 + x)m (1 + x)n−m = (1 + x)n の展開における xk の係数として、等式 (2) を用いて求めることができる。m = 1 のとき等式 (7) は等式 (3) に簡約される。
任意の整数 j, k, n (0 ? j ? k ? n) に対して適用できる同様の等式 ∑ m = 0 n ( m j ) ( n − m k − j ) = ( n + 1 k + 1 ) {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{m=0}^{n}{\dbinom {m}{j}}{\dbinom {n-m}{k-j}}={\dbinom {n+1}{k+1}}} (8) は、 x l ( 1 − x ) l + 1 = ∑ p = 0 ∞ ( p l ) x p {\displaystyle {\frac {x^{l}}{(1-x)^{l+1}}}=\textstyle \sum \limits _{p=0}^{\infty }{\dbinom {p}{l}}x^{p}} を用いれば x ( x j ( 1 − x ) j + 1 ) ( x k − j ( 1 − x ) k − j + 1 ) = x k + 1 ( 1 − x ) k + 2 {\displaystyle x\left({\tfrac {x^{j}}{(1-x)^{j+1}}}\right)\left({\tfrac {x^{k-j}}{(1-x)^{k-j+1}}}\right)={\tfrac {x^{k+1}}{(1-x)^{k+2}}}} の展開における xn+1 の係数として求められる。j = k のとき等式 (8) は ∑ m = 0 n ( m k ) = ( n + 1 k + 1 ) {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{m=0}^{n}{\dbinom {m}{k}}={\dbinom {n+1}{k+1}}} となる。展開 (7) を n = 2m, k = m に対して用い、(1) を使えば ∑ j = 0 m ( m j ) 2 = ( 2 m m ) {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{j=0}^{m}{\dbinom {m}{j}}^{2}={\dbinom {2m}{m}}} (9)