10世紀
サンスクリット語
1150年
インド
バースカラ2世
[1]
[2]
[3]
組合せ
定義と解釈

自然数
二項冪
項
係数
二項公式
( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k {\displaystyle (x+y)^{n}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}} (?)

環
組合せ論
組合せ
ビット
二項係数の値の計算

漸化式

漸化式
パスカルの三角形
乗法表示

下降階乗冪
階乗表示

階乗
この式は上記の乗法表示よりは二項係数が対称性 ( n k ) = ( n n − k ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}} (1)

一般化および二項級数

可換環
[注 1]
この定義により、二項定理（の一方の変数を 1 としたもの）も一般化して ( 1 + X ) α = ∑ k = 0 ∞ ( α k ) X k {\displaystyle (1+X)^{\alpha }=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{\dbinom {\alpha }{k}}X^{k}} (2)

形式冪級数
冪乗
指数法則

パスカルの三角形
漸化式
( n k ) + ( n k + 1 ) = ( n + 1 k + 1 ) , {\displaystyle {\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k+1}}={\binom {n+1}{k+1}},} (3)

帰納的
?
パスカルの三角形
3
解釈

組合せ論
組合せ
多重集合
文字列
[5]
カタラン数
二項分布
多項式としての性質

有理
多項式
ニュートンの一般化二項定理
第一種スターリング数
対数微分法
多項式の空間の基底

標数
体
有理数
第 k-階差
で与えられ、明示的に書けば a k = ∑ i = 0 k ( − 1 ) k − i ( k i ) p ( i ) {\displaystyle a_{k}=\textstyle \sum \limits _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\dbinom {k}{i}}p(i)} (4)

[注 2]
整数値多項式詳細は「整数値多項式
4
二項係数に関する等式

例えば k を正整数、n は任意として ( n k ) = n k ( n − 1 k − 1 ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}} (5)

二項係数を含む級数

等式 ∑ k = 0 n ( n k ) = 2 n {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}=2^{n}} (??)

?
2 の整数冪
??
n元-集合
冪集合
等式 ∑ k = 0 n k ( n k ) = n 2 n − 1 {\displaystyle \textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}k{\dbinom {n}{k}}=n2^{n-1}} (6)