特に、b が 2 を因数に持つ場合、b = 2b' とおくと x = − b ′ ± ( b ′ ) 2 − a c a {\displaystyle x={\frac {-b'\pm {\sqrt {(b')^{2}-ac}}}{a}}}

と簡明になる。
特別な二次方程式の解

数学定数の中で、定義が特別な二次方程式であるものがある。

1の虚立方根 ω（x2 + x + 1 = 0 の解 x = − 1 ± 3 i 2 {\displaystyle x={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}\,i}{2}}} （2つのどちらでもよい））

三次方程式の解、アイゼンシュタイン整数 など


貴金属数

黄金数 φ（x2 − x − 1 = 0 の正の解 x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\,} ）

フィボナッチ数 など



実数係数の二次方程式

二次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}

の係数 a, b, c は実数とする。
虚数の導入

二次方程式の解の公式 x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} における b 2 − 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} が負の場合は、解が虚数になる。2つの解は、共役な虚数である。

虚数も数に含めると、代数学の基本定理（全ての複素数係数の代数方程式は複素数の範囲で必ず解を持つ）が成り立つ。
判別式と実数解の個数

実数係数の二次方程式においては、解の公式に見られるように、 b 2 − 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} の符号が実数解の個数を決める。

二次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の重複を込めた解を α, β とするとき、 Δ := a 2 ( α − β ) 2 {\displaystyle \Delta :=a^{2}(\alpha -\beta )^{2}}

を二次方程式の判別式という。