定積分を、定義から直接にリーマン和（微小長方形の面積の総和）の極限として求めるのは非常に困難であるが、連続関数の不定積分が初等関数で表せる場合は、微分積分学の基本公式 を用いると単純な計算問題に帰着させることができる。
性質

以後、本項では特にことわらない限り関数は連続関数とし、「不定積分」という用語を逆微分という意味で用いる。
定理

一つの連続関数に対する二つの原始関数は定数の違いしかなく、すべての変数項が一致することを証明 (黒丸印から開始) する。実際、 F ( x ) {\displaystyle F(x)} を閉区間上の連続関数 f(x) の原始関数のひとつとし、同じ定義域における f(x) の他の原始関数 G ( x ) {\displaystyle G(x)} をとると、

G ( x ) − F ( x ) = C {\displaystyle G(x)-F(x)=C\,} （定数）

を満たす適当な定数 C {\displaystyle C} が存在する。

条件より ( G ( x ) − F ( x ) ) ′ = f ( x ) − f ( x ) = 0 {\displaystyle (G(x)-F(x))'=f(x)-f(x)=0} であるから、平均値の定理より G ( x ) − F ( x ) {\displaystyle G(x)-F(x)} は定数である。

ゆえに f(x) の逆微分としての不定積分は任意定数 C {\displaystyle C} を用いて

∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C {\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C}

と書くことができる。ここで任意定数 C {\displaystyle C} は通常、積分定数 と呼ばれる。従って特に a {\displaystyle a} を基点とする不定積分と任意定数 C {\displaystyle C} を用いて

∫ f ( x ) d x = ∫ a x f ( t ) d t + C {\displaystyle \int f(x)\,dx=\int _{a}^{x}f(t)\,dt+C}

と表すことができる。
一般公式

∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x . {\displaystyle \int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx.}

∫ a f ( x ) d x = a ∫ f ( x ) d x . {\displaystyle \int af(x)dx=a\int f(x)dx.}

∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) − ∫ f ′ ( x ) g ( x ) d x . {\displaystyle \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx.} 　（部分積分法）

∫ f ( x ) d x = ∫ f ( g ( t ) ) d x d t d t . {\displaystyle \int f(x)dx=\int f(g(t)){\frac {dx}{dt}}\,dt.} 　（置換積分法）

∫ f − 1 ( x ) d x = x f − 1 ( x ) − ∫ f ( f − 1 ( x ) ) d f − 1 ( x ) . {\displaystyle \int f^{-1}(x)dx=xf^{-1}(x)-\int f(f^{-1}(x))df^{-1}(x).}

∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = log ⁡ 。 f ( x ) 。 + C . {\displaystyle \int {\frac {f'(x)}{f(x)}}dx=\log |f(x)|+C.}

有名な関数に対する公式「原始関数の一覧」も参照

∫ d x = x + C . {\displaystyle \int dx=x+C.}

∫ x a d x = 1 a + 1 x a + 1 + C . ( a ≠ − 1 ) {\displaystyle \int x^{a}dx={\frac {1}{a+1}}x^{a+1}+C.\quad (a\neq -1)}

∫ 1 x d x = ln ⁡ 。 x 。 + C . {\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx=\ln |x|+C.}

∫ 1 x 2 + a 2 d x = 1 a arctan ⁡ x a + C . ( a ≠ 0 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}+a^{2}}}\,dx={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C.\quad (a\neq 0)}

∫ 1 x 2 − a 2 d x = 1 2 a ln ⁡ 。 x − a x + a 。 + C . ( a ≠ 0 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}-a^{2}}}\,dx={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C.\quad (a\neq 0)}

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin ⁡ x a + C . ( a > 0 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,dx=\arcsin {\frac {x}{a}}+C.\quad (a>0)}

∫ a 2 − x 2 d x = 1 2 ( x a 2 − x 2 + a 2 arcsin ⁡ x a ) + C . ( a > 0 ) {\displaystyle \int {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\,dx={\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+a^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}\right)+C.\quad (a>0)}

∫ 1 x 2 + A d x = ln ⁡ 。 x + x 2 + A 。 + C . ( A ≠ 0 ) {\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+A}}}\,dx=\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}+A}}\right|+C.\quad (A\neq 0)}

∫ x 2 + A d x = 1 2 ( x x 2 + A + A ln ⁡ 。 x + x 2 + A 。 ) + C . ( A ≠ 0 ) {\displaystyle \int {\sqrt {x^{2}+A}}\,dx={\frac {1}{2}}\left(x{\sqrt {x^{2}+A}}+A\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}+A}}\right|\right)+C.\quad (A\neq 0)}

∫ e x d x = e x + C . {\displaystyle \int e^{x}dx=e^{x}+C.}

∫ a x d x = a x ln ⁡ a + C . {\displaystyle \int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C.}