と展開される。ただし、L1 = ln(x), L2 = ln(ln(x)) であり、[k
n ] は非負の第一種スターリング数である[6]。

もう一つの、区間 (−∞, −1/e] 上で定義される実函数な枝 W−1 は、L1 = ln(−x), L2 = ln(−ln(−x)) と書けば、x が十分 0 に近いとき同じ形の漸近展開を持つ。

x ≥ e なるとき、 ln ⁡ ( x ) − ln ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) + ln ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) 2 ln ⁡ ( x ) ≤ W 0 ( x ) ≤ ln ⁡ ( x ) − ln ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) + e e − 1 ln ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) ln ⁡ ( x ) {\displaystyle \ln(x)-\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}+{\frac {\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}}{2\ln(x)}}\leq W_{0}(x)\leq \ln(x)-\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}+{\frac {e}{e-1}}{\frac {\ln {\bigl (}\ln(x){\bigr )}}{\ln(x)}}}

という上下の評価が成り立つ[7]。また もう一つの枝 W−1 の評価は u > 0 に対して − 1 − 2 u − u < W − 1 ( − e − u − 1 ) < − 1 − 2 u − 2 3 u {\displaystyle -1-{\sqrt {2u}}-u<W_{-1}(-e^{-u-1})<-1-{\sqrt {2u}}-{\frac {2}{3}}u}

となる[8]。
整数冪・複素数冪の展開

W0 の整数乗もまた 0 において単純なテイラー級数（あるいはローラン級数）展開を持つ。例えば W 0 ( x ) 2 = ∑ n = 2 ∞ − 2 ( − n ) n − 3 ( n − 2 ) !   x n = x 2 − 2 x 3 + 4 x 4 − 25 3 x 5 + 18 x 6 − ⋯ . {\displaystyle W_{0}(x)^{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {-2(-n)^{n-3}}{(n-2)!}}\ x^{n}=x^{2}-2x^{3}+4x^{4}-{\frac {25}{3}}x^{5}+18x^{6}-\cdots .}

より一般に、ラグランジュの反転公式を用いれば、r ∈ Z に対して W 0 ( x ) r = ∑ n = r ∞ − r ( − n ) n − r − 1 ( n − r ) !   x n {\displaystyle W_{0}(x)^{r}=\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {-r(-n)^{n-r-1}}{(n-r)!}}\ x^{n}}

となることが示せる（これは一般に、位数 r のローラン級数になっている）。あるいは同じことだが、この式を W0(x)/x の冪に関するテイラー級数として ( W 0 ( x ) x ) r = exp ⁡ ( − r W 0 ( x ) ) = ∑ n = 0 ∞ r ( n + r ) n − 1 n ! ( − x ) n {\displaystyle \left({\frac {W_{0}(x)}{x}}\right)^{r}=\exp(-rW_{0}(x))=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r(n+r)^{n-1}}{n!}}(-x)^{n}}