この積分は周波数の上限と下限を定めない限り発散する。下限は上に述べた ν > π c / a 0 {\displaystyle \nu >\pi c/a_{0}} から k > π / a 0 {\displaystyle k>\pi /a_{0}} と求まる。また上限はコンプトン波長とし、 k < m c / ℏ {\displaystyle k<mc/\hbar } と求まる。これらの制限から積分の収束値が求まる。 ⟨ ( δ r → ) 2 ⟩ v a c ≅ 1 2 ϵ 0 π 2 ( e 2 ℏ c ) ( ℏ m c ) 2 ln ⁡ 4 ϵ 0 ℏ c e 2 {\displaystyle \langle (\delta {\vec {r}})^{2}\rangle _{\mathrm {vac} }\cong {\frac {1}{2\epsilon _{0}\pi ^{2}}}\left({\frac {e^{2}}{\hbar c}}\right)\left({\frac {\hbar }{mc}}\right)^{2}\ln {\frac {4\epsilon _{0}\hbar c}{e^{2}}}} .

原子軌道とクーロン場から ⟨ ∇ 2 ( − e 2 4 π ϵ 0 r ) ⟩ a t = − e 2 4 π ϵ 0 ∫ d r → ψ ∗ ( r → ) ∇ 2 ( 1 r ) ψ ( r → ) = e 2 ϵ 0 。 ψ ( 0 ) 。 2 , {\displaystyle \left\langle \nabla ^{2}\left({\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\right)\right\rangle _{at}={\frac {-e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int d{\vec {r}}\psi ^{*}({\vec {r}})\nabla ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)\psi ({\vec {r}})={\frac {e^{2}}{\epsilon _{0}}}|\psi (0)|^{2},}

また以下の等式により ∇ 2 ( 1 r ) = − 4 π δ ( r → ) . {\displaystyle \nabla ^{2}\left({\frac {1}{r}}\right)=-4\pi \delta ({\vec {r}}).}