になる。ただし、最初の等号は静電場は静電位の勾配に等しいという事実を用いた。発散定理により、 ∫ V Δ φ d V = ∫ V q d V {\displaystyle \int _{V}\Delta \varphi \,dV=\int _{V}q\,dV}

が成り立ち、これは任意の領域 V に対して成り立つことから (1) を得る。

同じ説明によって、重力ポテンシャルのラプラシアンが質量分布（英語版）となることが導かれる。電荷や質量の分布が与えられていてそれらに付随するポテンシャルは未知ということはよくあることである。適当な境界条件の下でポテンシャル函数を求めるということは、ポワソン方程式を解くことに同じである。
エネルギー最小化

物理学においてラプラス作用素が現れる別な理由は、領域 U における方程式 ?f = 0 の解はディリクレエネルギー・汎函数を停留させる函数 E ( f ) := 1 2 ∫ U ‖ ∇ f ‖ 2 d x {\displaystyle E(f):={\frac {1}{2}}\int _{U}\lVert \nabla f\rVert ^{2}\,dx}

となることである。これを見るために f: U → R は函数で、函数 u: U → R は U の境界上で消えていると仮定する。このとき d d ε E ( f + ε u ) 。 ε = 0 = ∫ U ∇ f ⋅ ∇ u d x = − ∫ U u Δ f d x {\displaystyle {\frac {d}{d\varepsilon }}E(f+\varepsilon u){\Bigg |}_{\varepsilon =0}=\int _{U}\nabla f\cdot \nabla u\,dx=-\int _{U}u\Delta f\,dx}

が成り立つ（ただし、最後の等号はグリーンの恒等式を用いた）。この計算により、?f = 0 ならば E は f の周りで停留する。逆に E が f の周りで停留するならば変分法の基本補題（英語版） により ?f = 0 である。
各種座標表示
二次元

二次元のラプラス作用素は x, y を xy-平面上の標準直交座標として Δ f := ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 {\displaystyle \Delta f:={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}

で与えられる。
極座標
Δ f = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 = 1 r ∂ f ∂ r + ∂ 2 f ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\\&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}.\end{aligned}}}
三次元「ベクトル解析の公式の一覧」も参照

三次元では様々な座標系がラプラシアンを記述するために広く用いられる。
直交座標系
Δ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 . {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}