ペアノの公理
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^ 自然数 S(n) は直後の数 n + 1 に相当する。ただし定数 1 や関数 + はまだ定義されていないことに注意。
^ 任意の部分集合に関する量化を行っているので、これは一階述語論理では形式化できない。
^ すなわち全単射 φ: ? → ?^ で φ(0) = 0^ かつ φ ? S = S^ ? φ を満たすものが存在する。
^ ハルモス曰く「読者がこの自然数の定義に関連して味わうかもしれない軽微な不快感はまったく普通のまた大ていの場合は一時的なものである」[7]。
出典^ G. バーコフ、S. マクレーン『現代代数学概論』（改訂3版）白水社、1967年、82?86頁。NDLJP:2422244。
^ 菊池 2014, p. 98.
^ ハルモス 1975, p. 82.
^ 彌永 1972, p. 66.
^ EoM 2001.
^ 足立 2002, p. 77, 定理 3.2（回帰定理）.
^ ハルモス 1975, p. 77.
^ von Neumann 1923
^ 鹿島 2007, p. 64.
^ 鹿島 2007, p. 70.
^ ペアノ 1969
^ Peano 1889
参考文献
足立恒雄『数：体系と歴史』朝倉書店、2002年。.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}ISBN 4-254-11088-X。
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ハルモス, P.R. 著、富川滋 訳『素朴集合論』ミネルヴァ書房、1975年。
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デーデキント 著、河野伊三郎 訳『数について――連続性と数の本質――』岩波書店〈岩波文庫 青924-1〉、1961年11月16日。ISBN 978-4-00-339241-6。
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