は ∂ v ∂ t − v × ( ∇ × v ) + ∇ { v 2 2 + ∫ d p ρ + Ω } = 0 {\displaystyle {\partial {\boldsymbol {v}} \over \partial t}-{\boldsymbol {v}}\times \left(\nabla \times {\boldsymbol {v}}\right)+\nabla \left\{{v^{2} \over 2}+\int {\mathrm {d} p \over \rho }+{\mathit {\Omega }}\right\}=0}

と変形できる。ただし、 v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} は速度ベクトル、 p {\displaystyle p} は圧力、 ρ {\displaystyle \rho } は密度、 Ω {\displaystyle \Omega } は外力のポテンシャル f = − ∇ Ω {\displaystyle {\boldsymbol {f}}=-\nabla \Omega } である。

なお、 B = v 2 2 + ∫ d p ρ + Ω {\displaystyle B={v^{2} \over 2}+\int {\mathrm {d} p \over \rho }+{\mathit {\Omega }}}

をベルヌーイ関数と呼ぶ。更に、右辺第2項を圧力関数と呼ぶ。
オイラー方程式の変形の導出

非粘性流体の運動はオイラー方程式で記述される。 D v D t = − 1 ρ ∇ p + f {\displaystyle {D{\boldsymbol {v}} \over Dt}=-{1 \over \rho }\nabla p+{\boldsymbol {f}}}

ただし、 v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} は速度、 ρ {\displaystyle \rho } は密度、 p {\displaystyle p} は圧力、 f {\displaystyle {\boldsymbol {f}}} は外力である。

バロトロピック性 ρ = ρ ( p ) {\displaystyle \rho =\rho (p)} と外力が保存力であることを仮定すると、 D v D t = − ∇ { ∫ d p ρ + Ω } {\displaystyle {D{\boldsymbol {v}} \over Dt}=-\nabla \left\{\int {\mathrm {d} p \over \rho }+{\mathit {\Omega }}\right\}}

と書き換えられる。ただし、 Ω {\displaystyle \Omega } は外力のポテンシャルである。

左辺は速度の物質微分、すなわち、加速度であるが、加速度の回転形表示を使うと、 D v D t = ∂ v ∂ t + v ⋅ ∇ v = ∂ v ∂ t + ∇ ( v 2 2 ) − v × ( ∇ × v ) {\displaystyle {\begin{aligned}{D{\boldsymbol {v}} \over Dt}&={\partial {\boldsymbol {v}} \over \partial t}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}\\&={\partial {\boldsymbol {v}} \over \partial t}+\nabla \left({v^{2} \over 2}\right)-{\boldsymbol {v}}\times \left(\nabla \times {\boldsymbol {v}}\right)\end{aligned}}}

と変形できるので、オイラー方程式は ∂ v ∂ t − v × ( ∇ × v ) + ∇ { v 2 2 + ∫ d p ρ + Ω } = 0 {\displaystyle {\partial {\boldsymbol {v}} \over \partial t}-{\boldsymbol {v}}\times \left(\nabla \times {\boldsymbol {v}}\right)+\nabla \left\{{v^{2} \over 2}+\int {\mathrm {d} p \over \rho }+{\mathit {\Omega }}\right\}=0}

となる。

これより、以下の二つの定理が導出できる。
(I) 定常流におけるベルヌーイの定理

外力が保存力である非粘性バロトロピック流体の定常な流れでは、流線と渦線から作られるベルヌーイ面上で ( B = ) v 2 2 + ∫ d p ρ + Ω = c o n s t a n t {\displaystyle (B=)\,{v^{2} \over 2}+\int {\mathrm {d} p \over \rho }+{\mathit {\Omega }}=\mathrm {constant} }