n次元版

ヘロンの公式のn次元版はCayley-Menger Determinantとして知られている[4]。

n次元版ヘロンの公式(Cayley-Menger Determinant) ― n次元単体の体積 V {\displaystyle V} は、 n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}} 辺の長さによって次のように書かれる。 V 2 = ( − 1 ) n + 1 2 n ( n ! ) 2 。 0 d 12 2 ⋯ d 1 ( n + 1 ) 2 1 d 21 2 0 ⋯ d 2 ( n + 1 ) 2 1 ⋯ d ( n + 1 ) 1 2 d ( n + 1 ) 2 2 ⋯ 0 1 1 1 ⋯ 1 0 。 {\displaystyle V^{2}={\frac {(-1)^{n+1}}{2^{n}(n!)^{2}}}\left|{\begin{array}{ccccc}0&{d_{12}}^{2}&\cdots &{d_{1(n+1)}}^{2}&1\\{d_{21}}^{2}&0&\cdots &{d_{2(n+1)}}^{2}&1\\&&\cdots &&\\{d_{(n+1)1}}^{2}&{d_{(n+1)2}}^{2}&\cdots &0&1\\1&1&\cdots &1&0\end{array}}\right|}

ただし、 d i j {\displaystyle d_{ij}} は頂点 i = 1 , 2 , ⋯ , n + 1 {\displaystyle i=1,2,\cdots ,n+1} と頂点 j = 1 , 2 , ⋯ , n + 1 {\displaystyle j=1,2,\cdots ,n+1} を結ぶ辺の長さ。
脚注^ “ ⇒Formula de Heron para calcular el area de cualquier triangulo” (Spanish). 2012年6月30日閲覧。
^ Non-Biri 数学研究会「ヘロンとガロワ」『数学セミナー』、日本評論社、2009年11月、42頁。 
^ Sabitov, I. (1998). “The Volume as a Metric Invariant of Polyhedra”. Discrete Comput Geom 20: 405. doi:10.1007/PL00009393. 
^ “ ⇒Cayley-Menger Determinant” (English). 2018年6月19日閲覧。

参考文献

T・L・ヒース著、平田寛他訳『ギリシア数学史』共立出版、1998年5月。ISBN 4-320-01588-6

関連項目

アレクサンドリアのヘロン

三斜法

ブラーマグプタの公式

ブレートシュナイダーの公式

ヘロンの三角形

リュイリエの公式

外部リンク

『ヘロンの公式』 - コトバンク

『ヘロンの公式の証明と使用例』 - 高校数学の美しい物語

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