ブラウン運動の数学的に厳密なモデルとして、ノーバート・ウィーナーの名を冠してウィーナー過程と呼ばれる連続型確率過程がある。ウィーナー過程は離散型であるランダムウォークの極限となる確率過程として確率論、確率解析において非常に重要な概念である。ウィーナー過程のランダムさは、ブラウン運動のモデルに相応しく至る所通常の意味では微分不可能なほどであるが、その軌跡（サンプルパス）は連続性を持ち、ある種の測度としてウィーナー過程の存在を肯定する。そしてこれが微分（殊に二次の微分）によってある種の無限小余剰項を生むという規約を設けた[注 3]特別の微分（確率微分）を考えることにより、確率積分などの概念が定式化され、確率解析と呼ばれる一分野が展開される。非常に多くの粒子の影響がブラウン運動の不規則さを生むという考え方は、やはり多数の原因によって複雑な変動を示す株取引などの経済活動などにも応用することができるため、ウィーナー過程や確率微分を応用した確率解析は、金融工学などの分野でも盛んに用いられている[2]。
簡単のため1次元ウィーナー過程について述べる。
定義
確率空間 ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} 上で定義された連続な確率過程 W(t) で次の性質を満たすものをウィーナー過程という。
任意の t1 < t2 < … < tn に対し、W(t1) − W(0), W(t2) − W(t1), …, W(tn) − W(tn − 1) は独立。
任意の t ≥ s に対し、W(t) − W(s) は正規分布 N(0, t − s) に従う。
（注意）数学的にはこのような確率過程が存在することは決して自明ではなく、証明が必要である。
性質
サンプルパスは確率 1 で微分不可能である。すなわち、ブラウン運動は非常にギザギザな曲線となるのである。
W(t)2 − t はマルチンゲールとなる。これはブラウン運動に関する確率積分を考える際の非常に重要な性質である。
脚注[脚注の使い方]
注釈^ 1828年という記述もある[1]。
^ 媒質の粘性に関係し、ブラウン運動する物体の速度を v とすると、fv はその速度に比例する抵抗力となる。
^ 伊藤清による伊藤型やルスラン・ストラトノビッチ（英語版）によるストラトノヴィッチ型などの規約がよく知られる。
出典^ a b 小岩昌宏、中嶋英雄『 ⇒材料における拡散：格子上のランダム・ウォーク』堂山昌男・小川恵一・北田正弘（監修）、内田老鶴圃〈材料学シリーズ〉、2009年12月、17-21頁。ASIN 4753656373。.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}ISBN 978-4-7536-5637-0。 NCID BB00508924。OCLC 491332824。全国書誌番号:21783789。 ⇒http://www.rokakuho.co.jp/data/books/5637.html。
^ a b 有馬秀次. “ ⇒ウィーナー過程とブラウン運動”. 金融用語辞典. 金融大学. 2015年12月27日閲覧。
^ Brown (1828)
^ a b Einstein (1905)
^ 田崎晴明. “ ⇒ブラウン運動と非平衡統計力学” (PDF). 学校法人学習院. 2015年12月27日閲覧。
^ Sutherland (1905)
^ P. Hanggi. “ ⇒Stokes-Einstein-Sutherland equation” (PDF). 2017年1月11日閲覧。
^ von Smoluchowski (1906)