や公式 1 2 π ∑ n = − ∞ ∞ e 2 π i n x = ∑ l = − ∞ ∞ δ ( x − 2 π l ) , x ∈ R , {\displaystyle \;{\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi inx}=\sum _{l=-\infty }^{\infty }\delta (x-2\pi l),\qquad x\in \mathbb {R} ,\;}

を用い(ただし、 δ ( x ) {\displaystyle \;\delta (x)\;} はディラックのデルタ関数)[2]、適時積分と和の入れ替えを行うと、 S ( t ) {\displaystyle \;S(t)\;} は S ( t ) = S 0 ( t ) + S ′ ( t ) , {\displaystyle \;S(t)=S_{0}(t)+S'(t),\;} S 0 ( t ) = lim l , ϵ → + 0 W 2 π i l + ϵ ( e 2 π i l t / T − e 2 π i l ( t − Δ T ) / T ) = W Δ T T , S ′ ( t ) = ∑ l ≠ 0 W i 1 2 π l − i ϵ e 2 π i l t / T ( 1 − e − 2 π i l Δ T / T ) {\displaystyle \;{\begin{aligned}S_{0}(t)&=\lim _{l,\epsilon \rightarrow +0}{\frac {W}{2\pi il+\epsilon }}\left(e^{2\pi ilt/T}-e^{2\pi il(t-\Delta T)/T}\right)=W{\frac {\Delta T}{T}},\\S'(t)&=\sum _{l\neq 0}{\frac {W}{i}}{\frac {1}{2\pi l-i\epsilon }}e^{2\pi ilt/T}(1-e^{-2\pi il\Delta T/T})\end{aligned}}\;}

と書ける。ここで、 S ( t ) {\displaystyle \;S(t)\;} が時間の並進 t ⟶ t + Δ T / 2 {\displaystyle \;t\longrightarrow t+\Delta T/2\;} に対して不変であることを用いると[3]、 S ′ ( t ) {\displaystyle \;S'(t)\;} をもう少しきれいに書き直すことができて、 S ′ ( t ) = ∑ l = 1 ∞ 2 W π l cos ⁡ ( 2 π l T t ) sin ⁡ ( π l T Δ T ) {\displaystyle S'(t)=\sum _{l=1}^{\infty }{\frac {2W}{\pi l}}\cos \left({\frac {2\pi l}{T}}t\right)\sin \left({\frac {\pi l}{T}}\Delta T\right)}

である。最後の項 sin ⁡ ( π l / T Δ T ) {\displaystyle \;\sin \left(\pi l/T\Delta T\right)\;} に Δ T = τ ( 1 + m sin ⁡ ω t ) {\displaystyle \;\Delta T=\tau (1+m\sin \omega t)\;} を代入すると、これはFM変調の式であることがわかる。

S 0 ( t ) = W τ T ( 1 + m sin ⁡ ω t ) {\displaystyle \;S_{0}(t)=W{\frac {\tau }{T}}(1+m\sin \omega t)\;} であるから、ローパスフィルタで S ′ ( t ) {\displaystyle \;S'(t)\;} を除去できれば、 W τ T {\displaystyle \;W{\frac {\tau }{T}}\;} 分シフトされて元の信号が復調される。