ここで d i j {\displaystyle d_{ij}} は頂点 i {\displaystyle i} と j {\displaystyle j} との間の距離を表す。これは三角形におけるヘロンの公式を一般化したものである。 二項係数を得るパスカルの三角形は、別名をタルタリアの三角形ともいう。 1 + 2 = 3 {\displaystyle 1+2=3} 4 + 5 + 6 = 7 + 8 {\displaystyle 4+5+6=7+8} 9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15 {\displaystyle 9+10+11+12=13+14+15} … と無限に続く足し算の等式も同じ名で呼ばれる。上から n 段目の等式の左端は n2 （平方数）、中央は n(n + 1) （矩形数）である。n2 を n 個の n に、または n(n + 1) を n 個の n + 1 に分け、左辺のその他の項に加えれば右辺の項を得る。等式の値3, 15, 42,・・は n 番目の三角数（1から n までの和）の 2n + 1 倍、四角錐数（1から n までの自乗和）の3倍であり、奥行き、幅、高さが n, n + 1/2, n + 1 の直方体の体積に等しい。1段目から n 段目までの総和は、1から n までの立方和（n 番目の三角数の自乗）の 1 + 2/n 倍であり、連続三角数の積である。 3 2 + 4 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}} 10 2 + 11 2 + 12 2 = 13 2 + 14 2 {\displaystyle 10^{2}+11^{2}+12^{2}=13^{2}+14^{2}} 21 2 + 22 2 + 23 2 + 24 2 = 25 2 + 26 2 + 27 2 {\displaystyle 21^{2}+22^{2}+23^{2}+24^{2}=25^{2}+26^{2}+27^{2}} … と無限に続く自乗和の等式も同じ名で呼ばれる。上から n 段目の等式は 2n 番目の（六角数でない）三角数から 2n + 1 個の連続数の自乗項を左辺で n + 1 個、右辺で n 個足したものである。左端は n2 と (2n + 1)2 の積であり、中央は 2n(n + 1) の自乗である。左端の (2n + 1)2 は等号を挟んだ二項の自乗前の和に等しい[注釈 1]ため、 n2 を1から 2n - 1 までの連続奇数和に変形して左辺のその他の項に逆順で分配すれば、右辺の各項に等しくなる。これを図形的に見れば、左端の平方数を表す一辺が n(2n + 1) の正方形を長さが (2n + 1)2 、幅が n2 の長方形に等積変形した上で幅が1, 3, 5,・・2n - 1 の長方形に分割し、直角に折り曲げて左辺のその他の項を表す正方形の2辺に付加して右辺の正方形を作ることに相当する。また、中央の 2n(n + 1) は n 番目の三角数の4倍であるため、自乗の一方を4から 4n まで連続する4の倍数の和に変形して左辺のその他の項に逆順で分配してもよい。これを図形的に見れば、一辺が 2n(n + 1) の正方形を幅が1, 2, 3,・・n の長方形4個ずつ 4n 個に分割し、左辺のその他の項を表す正方形の4辺に付加して右辺の正方形を作ることに相当する[1]。または長さが 4n(n + 1), 幅が n(n + 1) の長方形に等積変形した上で幅が2, 4, 6,・・2n の長方形に分割し、直角に折り曲げてその他の正方形の2辺に付加すると考えてもよい。等式の値25, 365, 2030,・・は n 番目の四角錐数の 12n(n + 1) + 1 倍であり、奥行き、幅、高さ等が n, n + 1/2 - 1/√6, n + 1/2, n + 1/2 + 1/√6, n + 1 の5次元超直方体の超体積の4倍に等しい。この値は1から n までの立方和の 16(n + 1/2) 倍と n 番目の四角錐数の和にも等しく、1から n までの4乗和（n 番目の四角錐数の {3n(n + 1) - 1}/5 倍）の20倍と n 番目の四角錐数の5倍の和にも等しい。1段目から n 段目までの総和は、足し算の三角形のそれの1/3（即ち1番目から n 番目までの四角錐数の総和）の 8n(n + 2) + 1 倍である。 1 2 + 1 ∗ 3 = 2 2 {\displaystyle 1^{2}+1*3=2^{2}} 6 2 + 7 2 + 6 ∗ 10 = 8 2 + 9 2 {\displaystyle 6^{2}+7^{2}+6*10=8^{2}+9^{2}} 15 2 + 16 2 + 17 2 + 15 ∗ 21 = 18 2 + 19 2 + 20 2 {\displaystyle 15^{2}+16^{2}+17^{2}+15*21=18^{2}+19^{2}+20^{2}} … 上記のように自乗和の三角形から漏れた数にも、足し算の三角形と興味深い関係がある。即ち 2n - 1 番目の三角数（n 番目の六角数）から 2n 個の連続数の n 個ずつの自乗和の差は、足し算の三角形の1段目から 2n - 1 段目までの総和に等しく、連続三角数の積である。例えば 62 + 72 と 82 + 92 の差60は足し算の三角形の1段目から3段目までの総和に等しく、 6 × 10 である。上から n 段目の等式の値は 4n(n + 1/2)(n - 1/2)(n2 + n/2 - 1/6) であり、1段目から n 段目までの総和は n(n + 1)(40n4 + 104n3 + 31n2 - 51n - 4)/60 である。n 段目の連続三角数の積は等号の右の平方数と足し算の三角形の n 段目の左端の平方数の差に等しいため、下記のようにも表現できる。 1 2 = 1 2 {\displaystyle 1^{2}=1^{2}} 6 2 + 7 2 = 2 2 + 9 2 {\displaystyle 6^{2}+7^{2}=2^{2}+9^{2}} 15 2 + 16 2 + 17 2 = 3 2 + 19 2 + 20 2 {\displaystyle 15^{2}+16^{2}+17^{2}=3^{2}+19^{2}+20^{2}} … または 1 2 = 2 2 {\displaystyle 1^{2}={\frac {2}{2}}} 6 2 + 7 2 = 8 2 + 9 2 {\displaystyle 6^{2}+7^{2}={\frac {8}{2}}+9^{2}} 15 2 + 16 2 + 17 2 = 18 2 + 19 2 + 20 2 {\displaystyle 15^{2}+16^{2}+17^{2}={\frac {18}{2}}+19^{2}+20^{2}} … 上から n 段目の等式の値は 4n(n + 1/2)(n - 1/2)(n2 - n/2 - 1/6) であり、1段目から n 段目までの総和は n(n + 1)(40n4 + 56n3 - 41n2 - 39n + 14)/60 である。 次の問題は「タルタリアの問題」と言われている[2]。ある商人が牧場を通った。商人は番人に、ここの羊は何頭いるかと尋ねた。すると番人は「2頭ずつ数えても、3頭ずつ数えても、4頭ずつ数えても、5頭ずつ数えても、6頭ずつ数えても1頭余るが、7頭ずつ数えるとぴったりだ」と答えた。羊は何頭いるか。 この答えは 301 + 420n （nは0を含む自然数）となる。
タルタリアの三角形
タルタリアの問題
参考文献
数学10大論争 ハル・ヘルマン ISBN 978-4314010597
.mw-parser-output cite.citation{font-style:inherit;word-wrap:break-word}.mw-parser-output .citation q{quotes:"\"""\"""'""'"}.mw-parser-output .citation.cs-ja1 q,.mw-parser-output .citation.cs-ja2 q{quotes:"「""」""『""』"}.mw-parser-output .citation:target{background-color:rgba(0,127,255,0.133)}.mw-parser-output .id-lock-free a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-free a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/65/Lock-green.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-limited a,.mw-parser-output .id-lock-registration a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-limited a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-registration a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/Lock-gray-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .id-lock-subscription a,.mw-parser-output .citation .cs1-lock-subscription a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/aa/Lock-red-alt-2.svg")right 0.1em center/9px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-ws-icon a{background:url("//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Wikisource-logo.svg")right 0.1em center/12px no-repeat}.mw-parser-output .cs1-code{color:inherit;background:inherit;border:none;padding:inherit}.mw-parser-output .cs1-hidden-error{display:none;color:#d33}.mw-parser-output .cs1-visible-error{color:#d33}.mw-parser-output .cs1-maint{display:none;color:#3a3;margin-left:0.3em}.mw-parser-output .cs1-format{font-size:95%}.mw-parser-output .cs1-kern-left{padding-left:0.2em}.mw-parser-output .cs1-kern-right{padding-right:0.2em}.mw-parser-output .citation .mw-selflink{font-weight:inherit}Chisholm, Hugh, ed. (1911). "Tartaglia, Niccolo"