数学において、ディリクレの判定法（ディリクレのはんていほう、英: Dirichlet's test）は、級数の収束判定法の一つである。名称はこれを記述したペーター・グスタフ・ディリクレにちなんでいるが、発表されたのは彼の死後、1862年の "Journal de Mathematiques Pures et Appliquees（英語版、フランス語版） においてであった[1]。
主張

実数列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} と複素数列 { b n } {\displaystyle \{b_{n}\}} が次の条件

a n + 1 ≤ a n {\displaystyle a_{n+1}\leq a_{n}}


lim n → ∞ a n = 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}


ある定数 M {\displaystyle M} があり、全ての正の整数 N に対して 。 ∑ n = 1 N b n 。 ≤ M {\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M}

を満たすならば、級数 ∑ n = 1 ∞ a n b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}} は収束する。
証明

S n = ∑ k = 1 n a k b k {\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}} 、 B n = ∑ k = 1 n b k {\displaystyle B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}} とおく。

部分和分法により S n = a n + 1 B n + ∑ k = 1 n B k ( a k − a k + 1 ) {\displaystyle S_{n}=a_{n+1}B_{n}+\sum _{k=1}^{n}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})} と変形できる。

B n {\displaystyle B_{n}} は絶対値が M で抑えられていて a n → 0 {\displaystyle a_{n}\rightarrow 0} なので、第1項は0に収束する： a n + 1 B n → 0 {\displaystyle a_{n+1}B_{n}\to 0} ( n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } )

一方 a n {\displaystyle a_{n}} は非増加数列なので a k − a k + 1 {\displaystyle a_{k}-a_{k+1}} は任意の k に対し非負であり、 。 B k ( a k − a k + 1 ) 。 ≤ M ( a k − a k + 1 ) {\displaystyle |B_{k}(a_{k}-a_{k+1})|\leq M(a_{k}-a_{k+1})} となるが、 ∑ k = 1 n M ( a k − a k + 1 ) = M ∑ k = 1 n ( a k − a k + 1 ) = M ( a 1 − a n + 1 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}M(a_{k}-a_{k+1})=M\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1})=M(a_{1}-a_{n+1})}