Sinc関数による近似の形をオイラーの公式を用いて変形すれば ϕ k ( x ) = sin ⁡ k x π x = 1 2 π i x [ e i k x − e − i k x ] = 1 2 π ∫ − k k e i k ′ x d k ′ {\displaystyle \phi _{k}(x)={\frac {\sin kx}{\pi x}}={\frac {1}{2\pi ix}}\left[e^{ikx}-e^{-ikx}\right]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-k}^{k}e^{ik'x}dk'}

であり、フーリエ変換における基本的な関係式 δ ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ e i k x d k {\displaystyle \delta (x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ikx}dk}

が得られる。この表式は量子場の理論で非常によく利用される[1]。フーリエ変換とその逆変換 f ^ ( k ) = F [ f ] = ∫ f ( x ) e − i k x d x {\displaystyle {\hat {f}}(k)={\mathcal {F}}[f]=\int f(x)\,e^{-ikx}dx} f ( x ) = F − 1 [ f ^ ] = 1 2 π ∫ f ^ ( k ) e i k x d k {\displaystyle f(x)={\mathcal {F}}^{-1}[{\hat {f}}]={\frac {1}{2\pi }}\int {\hat {f}}(k)\,e^{ikx}dk}

は、以下の関係式により正当化される。 F − 1 ∘ F [ f ] = 1 2 π ∫ [ ∫ f ( y ) e − i k y d y ] e i k x d k = ∫ f ( y ) [ 1 2 π ∫ e i k ( x − y ) d k ] d y = ∫ f ( y ) δ ( x − y ) d y = f ( x ) {\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\circ {\mathcal {F}}[f]={\frac {1}{2\pi }}\int {\bigg [}\int f(y)\,e^{-iky}dy{\bigg ]}e^{ikx}dk=\int f(y){\bigg [}{\frac {1}{2\pi }}\int e^{ik(x-y)}dk{\bigg ]}dy=\int f(y)\,\delta (x-y)\,dy=f(x)}
佐藤超関数としての定義

佐藤超関数の流儀では、ディラックのデルタ関数は複素領域から実軸への抽象的境界値

δ ( x ) := − 1 2 π i ( 1 x + i 0 − 1 x − i 0 ) {\displaystyle \delta (x):={\frac {-1}{2\pi i}}\left({\frac {1}{x+i0}}-{\frac {1}{x-i0}}\right)}

と定義される。ここで抽象的境界値とは正則関数のある種の同値類を表すが、直感的には x ≠ 0 ならば

− 1 2 π i ( 1 x + i 0 − 1 x − i 0 ) = − 1 2 π i ( 1 x − 1 x ) = 0 {\displaystyle {\frac {-1}{2\pi i}}\left({\frac {1}{x+i0}}-{\frac {1}{x-i0}}\right)={\frac {-1}{2\pi i}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x}}\right)=0}

である。また、デルタ関数の最も重要な性質である

∫ δ ( x ) f ( x ) d x = f ( 0 ) {\displaystyle \int \delta (x)f(x)\,dx=f(0)}

は、複素解析学のコーシーの積分公式から導かれる。厳密な定義には層係数のコホモロジー論を必要とするが、1 変数の場合は比較的容易に理論展開できる。
ディラック測度

ディラック関数は以下のようにして定まるディラック測度（英: Dirac measure）δ0 の非形式的な密度関数だと解釈することができる。実直線のボレル部分集合 A に対して、A が 0 を含む場合 δ0(A) = 1、そうでない場合 δ0(A) = 0 とすると、δ0 は σ-加法性を持っている。この測度に関する有界ボレル関数の積分は ∫ f ( x ) d δ 0 ( x ) = f ( 0 ) {\displaystyle \int f(x)d\delta _{0}(x)=f(0)}