ツェルメロ＝フレンケル集合論

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^ Fraenkel, Bar-Hillel & Levy 1973.
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^ Kunen 1980, p. 15
^ Shoenfield 1977, section 2.
^ Hinman 2005, p. 467.
^ (Link 2014)
^ Tarski 1939.
^ Feferman 1996.
^ Wolchover 2013.

注釈 ^ 集合の元であって、それ自体が集合ではないもの
^ a b それに属する元が共通してもつ属性によって定義された数学的対象の集まりであり、集合とするには大きすぎるもの
 ^ 集合の存在を直接主張する公理の省略は、2つの方法で正当化できる。1つ目として、通常ZFCが形式化される一階述語論理の標準的な文脈では、論議領域が空でない必要がある。したがって、「何か」が存在することは一階述語論理の論理的定理である。この定理は通常、「何か」がそれ自体と同一であるという命題 ∃ x ( x = x ) {\displaystyle \exists x(x=x)} として表される。前述の通り、ZFCの言語では集合のみを扱うため、この論理的定理をZFCの言語で解釈すると、何らかの集合が存在するということになる。したがって、集合の存在を主張する別の公理は必要ない。2つ目として、ZFCがいわゆるフリーロジック（英語版）で定式化されており、論理だけでは何かが存在することを証明できない場合でも、無限公理（後述）は無限集合が存在すると主張する。これは何らかの集合が存在することを意味するので、やはり追加の公理は不要である。

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