空でないどの集合 x {\displaystyle x} も、 x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} が素集合となる元 y {\displaystyle y} を含む。 ∀ x [ ∃ a ( a ∈ x ) ⇒ ∃ y ( y ∈ x ∧ ¬ ∃ z ( z ∈ y ∧ z ∈ x ) ) ] . {\displaystyle \forall x[\exists a(a\in x)\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))].} [8]

現代的な表記方法では以下の通り： ∀ x ( x ≠ ∅ ⇒ ∃ y ( y ∈ x ∧ y ∩ x = ∅ ) ) . {\displaystyle \forall x\,(x\neq \varnothing \Rightarrow \exists y(y\in x\land y\cap x=\varnothing )).}

これは（対の公理とともに）、たとえば、どの集合もそれ自体の元ではなく、どの集合も序数のランクを有することを意味する。
3. 分出公理（無制限の内包公理）詳細は「分出公理」および「en:Axiom schema of specification」を参照

部分集合は通常、集合の内包的記法（英語版）を用いて表される。たとえば偶数は、整数 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } の合同式 x ≡ 0 ( mod 2 ) {\displaystyle x\equiv 0{\pmod {2}}} を満たす部分集合として表すことができる。 { x ∈ Z : x ≡ 0 ( mod 2 ) } . {\displaystyle \{x\in \mathbb {Z} :x\equiv 0{\pmod {2}}\}.}

一般に、集合 z {\displaystyle z} の部分集合で1つの自由変項 x {\displaystyle x} の式 ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} に従うものは、以下のように表現できる： { x ∈ z : ϕ ( x ) } . {\displaystyle \{x\in z:\phi (x)\}.}

分出公理は、この部分集合が常に存在することを示す（それぞれの ϕ {\displaystyle \phi } に1つずつ公理が対応するため、これは公理型である）。厳密には、ZFCの言語では、 ϕ {\displaystyle \phi } はすべての自由変項 x , z , w 1 , … , w n {\displaystyle x,z,w_{1},\ldots ,w_{n}} を含む任意の式とする（ y {\displaystyle y} は ϕ {\displaystyle \phi } の自由変項でない ）。このとき： ∀ z ∀ w 1 ∀ w 2 … ∀ w n ∃ y ∀ x [ x ∈ y ⇔ ( ( x ∈ z ) ∧ ϕ ) ] . {\displaystyle \forall z\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}\exists y\forall x[x\in y\Leftrightarrow ((x\in z)\land \phi )].}

分出公理は部分集合のみを構築でき、次のように一般的な集合を構築することはできないことに注意せよ： { x : ϕ ( x ) } . {\displaystyle \{x:\phi (x)\}.}

この制限は、ラッセルのパラドックス（ y = { x : x ∉ x } {\displaystyle y=\{x:x\notin x\}} とすると y ∈ y ⇔ y ∉ y {\displaystyle y\in y\Leftrightarrow y\notin y} となる ）や、ラッセルのパラドックスの変種（無制限の内包公理を含む素朴集合論に関連するもの）を防ぐするために必要である。

ZFの公理の中で、この公理は置換公理と空集合の公理に従うという点で冗長である。

一方、分出公理は少なくとも1つの集合が存在することを主張するため（前述）、空集合 ∅ {\displaystyle \varnothing } の存在を証明するために使用できる。証明方法の1つは、どの集合も持たない属性 ϕ {\displaystyle \phi } を使うことである。たとえば、 w {\displaystyle w} が既存の集合である場合、空集合は次のように構成できる。 ∅ = { u ∈ w ∣ ( u ∈ u ) ∧ ¬ ( u ∈ u ) } . {\displaystyle \varnothing =\{u\in w\mid (u\in u)\land \lnot (u\in u)\}.}

したがって、空集合の公理は、ここで示す9つの公理によって示すことができる。外延性の公理は、空集合が一意であることを意味する（ w {\displaystyle w} によらない）。記号「 ∅ {\displaystyle \varnothing } 」はしばしばZFCの言語に追加される（英語版）。
4. 対の公理詳細は「対の公理」を参照

x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} が集合である場合、 x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} を元として含む集合が存在する。 ∀ x ∀ y ∃ z ( ( x ∈ z ) ∧ ( y ∈ z ) ) . {\displaystyle \forall x\forall y\exists z((x\in z)\land (y\in z)).}

正確に x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} のみを元を持つ集合の存在を示すには、分出公理を使用する必要がある。対の公理はZの一部であるが、少なくとも2つの元を持つ集合が与えられた場合は置換公理に従うため、ZFでは冗長である。少なくとも2つの元を持つ集合の存在は、無限公理、または分出公理とべき集合公理の組み合わせのいずれかによって示せる。
5. 和集合の公理詳細は「和集合の公理」を参照

集合の元に対する和集合が存在する。たとえば、集合 { { 1 , 2 } , { 2 , 3 } } {\displaystyle \{\{1,2\},\{2,3\}\}} の元に対する和集合は { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}} である。

和集合の公理は、任意の集合の集合 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} について、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} の元の元であるすべての元を含む集合 A {\displaystyle A} が存在することを主張する： ∀ F ∃ A ∀ Y ∀ x [ ( x ∈ Y ∧ Y ∈ F ) ⇒ x ∈ A ] . {\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\in A].}