コンパクト空間 - 暇つぶしWikipedia

コンパクト空間

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注釈 ^ この部分の議論はコンパクト化の概念を定義する事により、厳密化する事ができる
 ^ なお、閉多様体という言葉は書籍により意味の違いがあり、コンパクトな多様体を閉多様体と呼ぶものと、コンパクトで縁のない多様体を閉多様体と呼ぶものが有る
 ^ より厳密に言うと、有向集合(Λ,≤)と、ΛからXへの写像x : Λ→Xの組の事をΛを添字集合とする有向点族と呼ぶ
 ^ 単に「ボルツァーノ・ワイエルシュトラス性」といったとき有向点族に対するものを指すのか点列に対するものを指すのかは書籍により異なるので注意が必要である。
^ なお、任意の点列が収束部分列を持つこと（すなわち点列コンパクトである事）と集積点を持つ事とは一見同値にみえるが、Xが第一可算公理を満たさない場合は前者のほうが後者よりも一般には強い条件である。Xが第一可算公理を満たしさえすれば、点列 ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }} の集積点x∈Xの加算近傍系 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} に属する各近傍から ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }} の元を一つずつ選ぶことでxに収束する部分列を取れるが（具体的には B = ( B m ) m ∈ N {\displaystyle {\mathcal {B}}=(B_{m})_{m\in \mathbb {N} }} とするとき、 n m := min { n ∈ N ∣ x n ∈ ∩ k ≤ m B m } {\displaystyle n_{m}:=\min\{n\in \mathbb {N} \mid x_{n}\in \cap _{k\leq m}B_{m}\}} とすれば、部分列 ( x n m ) m ∈ N {\displaystyle (x_{n_{m}})_{m\in \mathbb {N} }} はxに収束する）、Xが第一可算公理を満たさない場合はこのような手法でxに収束する部分列を作る事ができないからである。
^ #Schechter p.449ではパラコンパクト性質の条件としてハウスドルフではなくそれより弱い「preregular」を課しているが、この意味でのパラコンパクト性を満たせばハウスドルフになる事が示されているので定義は同値である
 ^ なお#Schechter p.449.ではハウスドルフではなくそれより弱い「preregular」(同文献p.439-440参照)をこの定理に課しているが別の注釈ですでに述べたようにパラコンパクトな空間ではpreregularならハウスドルフである

 出典 ^ “Cambridge English Dictionary”. 2021年1月19日閲覧。
^ a b #Kelly pp.65-66.
^ a b #Schechter 7.6
^ a b c d e #Kelly pp.135-136.
^ #Schechter p.461.
^ #Kelly p.141.
^ #内田 p.146
^ #内田 pp.145-146.なお、この文献では必要性しか示されていないが、十分性に関しても以下のアイデアで示せる： X ¯ {\displaystyle {\bar {X}}} をXの完備化とすると、仮定より X ¯ {\displaystyle {\bar {X}}} 上の点列はコーシー列を部分列に持ち、 X ¯ {\displaystyle {\bar {X}}} は完備なのでこのコーシー列は収束する。すなわち X ¯ {\displaystyle {\bar {X}}} は点列コンパクトである。点列コンパクトは全有界かつ完備である事と同値なので、 X ¯ {\displaystyle {\bar {X}}} は全有界であり、したがってXも全有界である。
^ #Kelly p.198.
^ #Schechter pp.505-506.
^ #Schechter p.507
^ #Heil p.3.
^ #内田 p.95
^ #内田 p.118.
^ 「コンパクト⇒点列コンパクト」は定義より明らか。「可算コンパクト⇒擬コンパクト」は#Schechter p.468より。「点列コンパクト⇒可算コンパクト」は#Kelly p.162より可算コンパクト性は任意の点列が集積点を持つ事と同値なので。ここで点x∈Xが点列 ( x n ) n ∈ N {\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }} の集積点であるとは、xの任意の近傍Nに対し、 x n ∈ N {\displaystyle x_{n}\in N} となるnが無限個ある事をいう（#Kelly p.71）[注 5]。
^ #Schechter p.470
^ #Kelly p.162.
^ #Schechter p.468
^ a b c d #Kelly pp.156-161.
^ a b #Kelly pp.126,128.
^ #Kelly p.171.
^ #Willard、Theorem 16.9, p. 111
^ #Willard、Theorem 16.11, p. 112
^ #松島，p. 86.
^ a b #Kelly p.172.
^ Kelly p.171.

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